Найти f(A) = A^2 + 4A - 2E, где A - матрица

Задание 1. Найти значение \( f(A) \), если \( f(x) = x^2 + 4x - 2 \) и \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \). Примечание: в тексте задания опечатка \( f(A)=10 \), следует вычислять значение функции от матрицы. Свободный член \( 2 \) заменяется на \( 2E \), где \( E \) — единичная матрица. Решение: \[ f(A) = A^2 + 4A - 2E \] 1) Вычислим \( A^2 \): \[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \] 2) Вычислим \( 4A \): \[ 4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} \] 3) Вычислим \( 2E \): \[ 2E = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] 4) Итоговое значение: \[ f(A) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 0 & -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+8-2 & 0+4-0 \\ 0+0-0 & 4-8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \] Ответ: \( f(A) = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} \). Задание 2. Решить методом Крамера: \[ \begin{cases} 4x_1 + x_2 = 9 \\ x_1 - 3x_2 = -11 \end{cases} \] Решение: 1) Вычислим главный определитель: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -12 - 1 = -13 \] 2) Вычислим вспомогательные определители: \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 9 & 1 \\ -11 & -3 \end{vmatrix} = 9 \cdot (-3) - 1 \cdot (-11) = -27 + 11 = -16 \] \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 4 & 9 \\ 1 & -11 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-11) - 9 \cdot 1 = -44 - 9 = -53 \] 3) Находим неизвестные: \[ x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-16}{-13} = \frac{16}{13} \] \[ x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-53}{-13} = \frac{53}{13} \] Ответ: \( x_1 = \frac{16}{13}, x_2 = \frac{53}{13} \). Задание 3. Решить систему: \[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 5 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 6 \\ 4x_1 + x_2 - x_3 = 0 \end{cases} \] Решение (методом сложения/исключения): 1) Из третьего уравнения выразим \( x_3 \): \[ x_3 = 4x_1 + x_2 \] 2) Подставим в первое и второе уравнения: \[ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + (4x_1 + x_2) = 5 \\ x_1 - x_2 + 2(4x_1 + x_2) = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x_1 + 4x_2 = 5 \\ 9x_1 + x_2 = 6 \end{cases} \] 3) Из второго уравнения новой системы: \( x_2 = 6 - 9x_1 \). Подставим в первое: \[ 6x_1 + 4(6 - 9x_1) = 5 \] \[ 6x_1 + 24 - 36x_1 = 5 \] \[ -30x_1 = -19 \Rightarrow x_1 = \frac{19}{30} \] 4) Находим остальные переменные: \[ x_2 = 6 - 9 \cdot \frac{19}{30} = 6 - \frac{3 \cdot 19}{10} = 6 - 5.7 = 0.3 = \frac{3}{10} = \frac{9}{30} \] \[ x_3 = 4 \cdot \frac{19}{30} + \frac{9}{30} = \frac{76 + 9}{30} = \frac{85}{30} = \frac{17}{6} \] Ответ: \( x_1 = \frac{19}{30}, x_2 = \frac{3}{10}, x_3 = \frac{17}{6} \). Задание 4. Вычислить определитель: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \] Решение (разложением по первой строке): \[ \Delta = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta = 3 \cdot (2 \cdot 5 - 4 \cdot 1) - 0 + 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 2 \cdot 2) \] \[ \Delta = 3 \cdot (10 - 4) + 1 \cdot (-1 - 4) \] \[ \Delta = 3 \cdot 6 + 1 \cdot (-5) = 18 - 5 = 13 \] Ответ: \( 13 \).