Решение задач по геометрии: вычисление высоты и площади сечения конуса

Задача №1. Дано: Образующая \( l = 12 \) см. Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 60^\circ \). Найти: высоту конуса \( H \). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В этом треугольнике высота \( H \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \). Используем формулу: \[ H = l \cdot \sin(\alpha) \] Подставим значения: \[ H = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см.} \] Ответ: \( 6\sqrt{3} \) см. Задача №2. Дано: Осевое сечение — правильный треугольник со стороной \( a = 14 \) см. Угол между образующими в сечении \( \beta = 30^\circ \). Найти: площадь сечения \( S_{сеч} \). Решение: Так как осевое сечение — правильный треугольник, то образующая конуса \( l \) равна стороне этого треугольника: \( l = 14 \) см. Сечение, проведенное через две образующие, является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами \( l = 14 \) см и углом между ними \( 30^\circ \). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot l^2 \cdot \sin(\beta) \] Подставим значения: \[ S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 14^2 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 196 \cdot \frac{1}{2} = \frac{196}{4} = 49 \text{ см}^2. \] Ответ: 49 \( \text{см}^2 \). Задача №3. Дано: Высота \( H = 8 \). Образующая \( l = 10 \). Найти: площадь осевого сечения \( S_{ос} \). Решение: Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с основанием, равным диаметру \( D = 2R \), и высотой \( H \). Найдем радиус \( R \) по теореме Пифагора: \[ R = \sqrt{l^2 - H^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6. \] Тогда основание треугольника (диаметр): \[ D = 2 \cdot 6 = 12. \] Площадь осевого сечения: \[ S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48. \] Ответ: 48. Задача №4. Дано: Площадь основания \( S_{осн} = 45 \). Высота делится на отрезки \( h_1 = 4 \) (от вершины) и \( h_2 = 8 \). Найти: площадь сечения \( S_{сеч} \). Решение: Полная высота конуса \( H = h_1 + h_2 = 4 + 8 = 12 \). Площади сечений конуса, параллельных основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины: \[ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left( \frac{h_1}{H} \right)^2 \] Подставим значения: \[ \frac{S_{сеч}}{45} = \left( \frac{4}{12} \right)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] Отсюда: \[ S_{сеч} = 45 \cdot \frac{1}{9} = 5. \] Ответ: 5. Задача №5. Дано: Отношение радиусов \( R:r = 9:5 \). Высота \( H = 15 \). Образующая \( L = 17 \). Найти: площадь осевого сечения \( S_{ос} \). Решение: Осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция с основаниями \( 2R \) и \( 2r \) и высотой \( H \). Пусть \( R = 9x \), а \( r = 5x \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и разностью радиусов. По теореме Пифагора: \[ (R - r)^2 + H^2 = L^2 \] \[ (9x - 5x)^2 + 15^2 = 17^2 \] \[ (4x)^2 + 225 = 289 \] \[ 16x^2 = 64 \] \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2. \] Тогда радиусы равны: \[ R = 9 \cdot 2 = 18, \quad r = 5 \cdot 2 = 10. \] Основания трапеции: \( 2R = 36 \) и \( 2r = 20 \). Площадь осевого сечения: \[ S_{ос} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot H = (R + r) \cdot H \] \[ S_{ос} = (18 + 10) \cdot 15 = 28 \cdot 15 = 420. \] Ответ: 420.