Решение задач по комбинаторике: шифры и распределение стихов

Задача 1. Вид шифра: 2 цифры, 1 буква, 2 цифры (всего 5 позиций). Условие: буквы и цифры не могут повторяться. 1. Выберем буквы. В русском алфавите от М до С включительно: М, Н, О, П, Р, С. Всего 6 букв. 2. Выберем цифры. Всего цифр 10 (от 0 до 9). На первую позицию можно выбрать любую из 10 цифр. На вторую позицию — любую из оставшихся 9 цифр. На третью позицию (буква) — любую из 6 букв. На четвертую позицию — любую из оставшихся 8 цифр. На пятую позицию — любую из оставшихся 7 цифр. По правилу произведения общее количество шифров: \[ N = 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7 \] \[ N = 90 \cdot 6 \cdot 56 = 540 \cdot 56 = 30240 \] Ответ: 30240. Задача 2. Дано 3 девочки и 3 стихотворения. Каждая должна выучить по одному. Количество способов распределить стихотворения равно числу перестановок из 3 элементов: \[ P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \] Ответ: 6 вариантов. Задача 3. Для составления бургера нужно выбрать один ингредиент из каждой категории: 1. Булочка: 2 варианта (белая или с кунжутом). 2. Начинка: 3 варианта (говяжья, рыбная или куриная). 3. Соус: 4 варианта (кетчуп, провансаль, горчичный или чесночный). По правилу произведения общее количество вариантов: \[ N = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \] Ответ: 24 варианта. Задача 4. В слове «книга» 5 букв, и все они различны (к, н, и, г, а). Количество различных последовательностей из этих букв равно числу перестановок из 5 элементов: \[ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \] Ответ: 120 последовательностей. Задача 5. Вычислим значение выражения: \[ \frac{10!}{5! \cdot 3!} \] Разложим факториалы: \[ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} \] Сократим на \( 5! \): \[ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{6} \] Сократим на 6: \[ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 90 \cdot 56 = 5040 \] Ответ: 5040.