Решение задачи о равнобедренном треугольнике

Ниже представлено решение задач из вашего варианта. Оформление выполнено в виде записей для школьной тетради. Задача 1 Дано: Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). Периметр \(P = 48\) см. Отношение боковой стороны к основанию: \(AB : AC = 2 : 5\). Найти: Стороны треугольника. Решение: Пусть \(x\) — коэффициент пропорциональности. Тогда боковые стороны \(AB = BC = 2x\), а основание \(AC = 5x\). Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \[P = AB + BC + AC\] Подставим значения: \[2x + 2x + 5x = 48\] \[9x = 48\] \[x = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\] Найдем стороны: \[AB = BC = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \text{ см}\] \[AC = 5 \cdot \frac{16}{3} = \frac{80}{3} = 26\frac{2}{3} \text{ см}\] Проверка: \(10\frac{2}{3} + 10\frac{2}{3} + 26\frac{2}{3} = \frac{32+32+80}{3} = \frac{144}{3} = 48\). Ответ: \(10\frac{2}{3}\) см, \(10\frac{2}{3}\) см, \(26\frac{2}{3}\) см. Задача 2 Дано: Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)). \(BD\) — медиана. Точки \(K\) и \(M\) лежат на боковых сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно. \(BK = BM\). Доказать: \(\triangle BKD = \triangle BMD\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(BKD\) и \(BMD\). 1. Сторона \(BD\) — общая. 2. \(BK = BM\) по условию. 3. Так как \(BD\) — медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника \(ABC\), то она также является биссектрисой угла \(B\). Следовательно, \(\angle KBD = \angle MBD\). Треугольники \(BKD\) и \(BMD\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать. Задача 3 Дано: \(\angle ADB = \angle ADC\). Точки \(B\) и \(C\) лежат на сторонах угла \(A\). \(BD = 4\) см, \(CD = 4\) см (так как \(BD = CD\) по условию, исходя из текста "доказать, что \(AB = AC\)" и равенства отрезков). Доказать: \(AB = AC\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). 1. Сторона \(AD\) — общая. 2. \(\angle ADB = \angle ADC\) по условию. 3. \(BD = CD\) по условию. Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle ACD\) по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AB = AC\). Что и требовалось доказать. Задача 4 Дано: \(AO = BO\), \(CO = DO\). \(CO = 2\) см, \(BO = 3\) см, \(BD = 4\) см. Найти: Периметр \(\triangle CAO\). Решение: Рассмотрим треугольники \(CAO\) и \(DBO\). 1. \(AO = BO\) по условию. 2. \(CO = DO\) по условию. 3. \(\angle COA = \angle DOB\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle CAO = \triangle DBO\) по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что \(AC = BD = 4\) см. Найдем периметр \(\triangle CAO\): \[P_{CAO} = CA + AO + CO\] Так как \(AO = BO = 3\) см, а \(CO = 2\) см: \[P_{CAO} = 4 + 3 + 2 = 9 \text{ см}\] Ответ: 9 см.