Решение задач по теореме Пифагора

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания в тетрадь виде. Задача №1 Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle A = 90^\circ \)) \( AB = 6 \) см \( AC = 8 \) см Найти: \( BC \) Решение: По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Подставим значения: \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ BC = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)} \] Ответ: \( BC = 10 \) см. Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle B = 90^\circ \)) \( AB = 5 \) см \( AC = 7 \) см Найти: \( BC \) Решение: По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Отсюда выразим катет \( BC \): \[ BC^2 = AC^2 - AB^2 \] \[ BC^2 = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 \] \[ BC = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ (см)} \] Ответ: \( BC = 2\sqrt{6} \) см. Задача №3 Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)) \( BD \perp AC \) (высота) \( AB = 13 \) см \( BD = 12 \) см Найти: \( AC \) Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABD \) (\( \angle D = 90^\circ \)). По теореме Пифагора: \[ AD^2 = AB^2 - BD^2 \] \[ AD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \] \[ AD = \sqrt{25} = 5 \text{ (см)} \] 2. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то \( AD = DC \). \[ AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 5 = 10 \text{ (см)} \] Ответ: \( AC = 10 \) см. Задача №4 Дано: \( ABCD \) — ромб \( AC, BD \) — диагонали, пересекаются в точке \( O \) \( AO = \sqrt{5} \) \( BO = 2 \) Найти: \( BC \) (сторону ромба) Решение: 1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (\( AC \perp BD \)), следовательно, \( \triangle BOC \) — прямоугольный (\( \angle O = 90^\circ \)). 2. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам. Для нахождения стороны \( BC \) воспользуемся теоремой Пифагора в \( \triangle BOC \): \[ BC^2 = BO^2 + OC^2 \] Так как \( OC = AO = \sqrt{5} \): \[ BC^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9 \] \[ BC = \sqrt{9} = 3 \] Ответ: \( BC = 3 \).