Решение контрольной работы по тригонометрическим уравнениям (Вариант 3)

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения» ВАРИАНТ № 3 № 1. Решить уравнение: 1) \(\sqrt{2} \sin x - 1 = 0\) \(\sqrt{2} \sin x = 1\) \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(x = (-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\text{tg} \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0\) \(\text{tg} \frac{x}{2} = -\sqrt{3}\) \(\frac{x}{2} = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) 3) \(\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(2x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(2x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = \pm \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 4) \(\text{ctg}(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(x + \frac{\pi}{6} = \text{arcctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) № 2. Решить однородное уравнение: 1) \(\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0\) Разделим обе части на \(\cos x \neq 0\): \(\text{tg} x - \sqrt{3} = 0\) \(\text{tg} x = \sqrt{3}\) \(x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(2\cos^2 x - \sin^2 x + \sin x \cos x = 0\) Разделим на \(\cos^2 x \neq 0\): \(2 - \text{tg}^2 x + \text{tg} x = 0\) \(\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 2 = 0\) Пусть \(\text{tg} x = t\), тогда \(t^2 - t - 2 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 2, t_2 = -1\) 1) \(\text{tg} x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg} 2 + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\text{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) № 3. Привести к квадратному и решить уравнение: 1) \(\text{tg}^2 x = \text{tg} x\) \(\text{tg}^2 x - \text{tg} x = 0\) \(\text{tg} x (\text{tg} x - 1) = 0\) 1) \(\text{tg} x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) 2) \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\) Пусть \(\sin x = t\), где \(|t| \le 1\) \(2t^2 + t - 1 = 0\) \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\) \(t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}\) \(t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1\) 1) \(\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\) № 4. Решить уравнение, разложив на множители левую часть: 1) \(\cos 2x \cdot \text{ctg} 3x - \cos 2x = 0\) \(\cos 2x (\text{ctg} 3x - 1) = 0\) 1) \(\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\text{ctg} 3x = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}\) (С учетом ОДЗ: \(\sin 3x \neq 0\)) 2) \(\sin 2x + \sin 3x = 0\) Используем формулу суммы синусов: \(2 \sin \frac{2x + 3x}{2} \cos \frac{2x - 3x}{2} = 0\) \(2 \sin \frac{5x}{2} \cos (-\frac{x}{2}) = 0\) Так как косинус четная функция: \(2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0\) 1) \(\sin \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)