Решение задачи по теории вероятностей. Вариант 1

Вариант 1 Задание 1. Верными утверждениями являются: б) Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями. в) Неравенство Чебышева позволяет оценить верхнюю и нижнюю границы для вероятности того, что случайная величина принимает значения, превосходящие или не превосходящие некоторую константу \( \varepsilon \). (Пояснение: утверждение "а" неверно, так как вероятности успеха и неудачи в схеме Бернулли могут быть любыми и не обязательно равны друг другу). Задание 2. Дано: \( X_1 = 1, P_1 = 0,1 \) \( X_2 = 4, P_2 = 0,5 \) \( X_3 = 5, P_3 = 0,4 \) 1) Вычислим математическое ожидание \( M(X) \): \[ M(X) = \sum X_i \cdot P_i = 1 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,4 = 0,1 + 2,0 + 2,0 = 4,1 \] 2) Вычислим дисперсию \( D(X) \) по формуле \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \): Сначала найдем \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = 1^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,4 = 1 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,4 = 0,1 + 8 + 10 = 18,1 \] Теперь найдем дисперсию: \[ D(X) = 18,1 - (4,1)^2 = 18,1 - 16,81 = 1,29 \] Ответ: \( M(X) = 4,1 \); \( D(X) = 1,29 \). Задание 3. Для оценки вероятности того, что неотрицательная случайная величина \( Y \) примет значение больше заданного числа, воспользуемся неравенством Маркова: \[ P(Y \ge a) \le \frac{M(Y)}{a} \] По условию \( M(Y) = 10 \), нужно оценить \( P(Y > 15) \). Примем \( a = 15 \): \[ P(Y > 15) \le \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \approx 0,667 \] Ответ: вероятность того, что число бракованных изделий будет больше 15, не превышает \( 2/3 \). Задание 4. Дано: \( n = 5 \), \( p = 0,3 \), \( k = 2 \). Вероятность неудачи \( q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7 \). Используем формулу Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] \[ C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \] \[ P_5(2) = 10 \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^3 = 10 \cdot 0,09 \cdot 0,343 = 0,9 \cdot 0,343 = 0,3087 \] Ответ: 0,3087. Задание 5. Дано: \( n = 3 \), \( p = 0,9 \), \( q = 1 - 0,9 = 0,1 \). Случайная величина \( X \) может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вычислим вероятности по формуле Бернулли: \[ P(X=0) = C_3^0 \cdot 0,9^0 \cdot 0,1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,001 = 0,001 \] \[ P(X=1) = C_3^1 \cdot 0,9^1 \cdot 0,1^2 = 3 \cdot 0,9 \cdot 0,01 = 0,027 \] \[ P(X=2) = C_3^2 \cdot 0,9^2 \cdot 0,1^1 = 3 \cdot 0,81 \cdot 0,1 = 0,243 \] \[ P(X=3) = C_3^3 \cdot 0,9^3 \cdot 0,1^0 = 1 \cdot 0,729 \cdot 1 = 0,729 \] Закон распределения (таблица): X | 0 | 1 | 2 | 3 P | 0,001 | 0,027 | 0,243 | 0,729 Проверка: \( 0,001 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1 \). Для построения полигона распределения в тетради нужно отметить на координатной плоскости точки (0; 0,001), (1; 0,027), (2; 0,243), (3; 0,729) и соединить их последовательно отрезками.