Решение контрольной работы "Логарифмы", Вариант 2

Контрольная работа «Логарифмы» Вариант 2 Задание 1. Вычислить: 1) \(\log_{3} \frac{1}{27} = \log_{3} 3^{-3} = -3\) 2) \((\frac{1}{3})^{2 \log_{\frac{1}{3}} 7} = ((\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 7})^2 = 7^2 = 49\) 3) \(\log_{2} 56 + 2 \log_{2} 12 - \log_{2} 63 = \log_{2} 56 + \log_{2} 12^2 - \log_{2} 63 = \log_{2} \frac{56 \cdot 144}{63} = \log_{2} \frac{8 \cdot 7 \cdot 144}{9 \cdot 7} = \log_{2} \frac{8 \cdot 144}{9} = \log_{2} (8 \cdot 16) = \log_{2} 128 = 7\) Задание 2. Найти область определения функции: \(y = \log_{\frac{4}{11}} \frac{(x - 1)(x + 4)}{3 - x}\) Область определения логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля. \[ \frac{(x - 1)(x + 4)}{3 - x} > 0 \] Решим методом интервалов. Корни числителя: \(x = 1\), \(x = -4\). Корень знаменателя: \(x = 3\). Расставим точки на прямой и определим знаки на промежутках: Для \(x \in (-\infty; -4)\) знак (+). Для \(x \in (-4; 1)\) знак (-). Для \(x \in (1; 3)\) знак (+). Для \(x \in (3; +\infty)\) знак (-). Нам нужны промежутки со знаком (+). Ответ: \(D(y) = (-\infty; -4) \cup (1; 3)\) Задание 3. Сравнить числа: \(\log_{0,9} 1\frac{1}{2}\) и \(\log_{0,9} 1\frac{1}{3}\) Основание логарифма \(a = 0,9\). Так как \(0 < 0,9 < 1\), то функция \(y = \log_{0,9} x\) является убывающей. Сравним аргументы: \(1\frac{1}{2} = 1,5\), а \(1\frac{1}{3} \approx 1,33\). Так как \(1,5 > 1,33\), то для убывающей функции значение логарифма будет меньше там, где аргумент больше. Ответ: \(\log_{0,9} 1\frac{1}{2} < \log_{0,9} 1\frac{1}{3}\) Задание 4. Решить уравнение: 1) \(\log_{4} (2x + 3) = 3\) По определению логарифма: \(2x + 3 = 4^3\) \(2x + 3 = 64\) \(2x = 61\) \(x = 30,5\) Проверка: \(2 \cdot 30,5 + 3 = 64 > 0\). Ответ: \(30,5\) 2) \(\log_{3} (x - 8) + \log_{3} x = 2\) ОДЗ: \(x - 8 > 0\) и \(x > 0\), значит \(x > 8\). \(\log_{3} (x(x - 8)) = 2\) \(x^2 - 8x = 3^2\) \(x^2 - 8x - 9 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 = 9\), \(x_2 = -1\). \(x_2 = -1\) не входит в ОДЗ. Ответ: \(9\) 3) \(\log_{\sqrt{3}} x + \log_{9} x = 10\) Приведем к основанию 3: \(\log_{3^{1/2}} x + \log_{3^2} x = 10\) \(2 \log_{3} x + \frac{1}{2} \log_{3} x = 10\) \(2,5 \log_{3} x = 10\) \(\log_{3} x = 4\) \(x = 3^4 = 81\) Ответ: \(81\) Задание 5. Решить неравенство: 1) \(\log_{5} (x - 3) < 2\) Система: \[ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 < 5^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x > 3 \\ x < 28 \end{cases} \] Ответ: \(x \in (3; 28)\) 2) \((\log_{2} x)^2 - 3 \log_{2} x \le 4\) ОДЗ: \(x > 0\). Пусть \(\log_{2} x = t\). \(t^2 - 3t - 4 \le 0\) Корни уравнения \(t^2 - 3t - 4 = 0\): \(t_1 = 4\), \(t_2 = -1\). Решение неравенства для \(t\): \(-1 \le t \le 4\). Вернемся к \(x\): \(-1 \le \log_{2} x \le 4\) \(2^{-1} \le x \le 2^4\) \(0,5 \le x \le 16\) Ответ: \(x \in [0,5; 16]\)