Решение:

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), \( AB = 10 \). Найти: \( BC \). Решение: 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \), значит \( \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). 2) По свойству катета, лежащего против угла в \( 30^\circ \): \[ BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \] Ответ: 5. Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \), высота \( CH = 8 \). Найти: \( AB \). Решение: 1) В \( \triangle ACH \): \( \angle H = 90^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \), значит \( \angle ACH = 45^\circ \). Треугольник равнобедренный, \( AH = CH = 8 \). 2) В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 45^\circ \), значит \( \angle B = 45^\circ \). Треугольник равнобедренный, высота \( CH \) является медианой. 3) \( AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 8 = 16 \). Ответ: 16. Задача 3. Дано: \( AC = CB \), \( \angle CAD = 20^\circ \), \( CD \perp AB \). Найти: \( \angle CBE \). Решение: 1) В \( \triangle ADC \): \( \angle ACD = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ \). 2) Так как \( AC = CB \), \( \triangle ABC \) — равнобедренный, высота \( CD \) является биссектрисой, значит \( \angle ACB = 2 \cdot 70^\circ = 140^\circ \). 3) Углы при основании \( \angle CAB = \angle CBA = (180^\circ - 140^\circ) : 2 = 20^\circ \). 4) \( \angle CBE \) — смежный с \( \angle CBA \): \[ \angle CBE = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ \] Ответ: 160. Задача 4. Дано: \( AB = AD = 7 \), \( AC \perp BD \), \( BC = 3,5 \). Найти: \( \angle B, \angle D \). Решение: 1) В \( \triangle ABC \): \( BC = 3,5 \), \( AB = 7 \). Так как катет в два раза меньше гипотенузы, то \( \angle BAC = 30^\circ \). 2) Тогда \( \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). 3) Так как \( AB = AD \), \( \triangle ABD \) — равнобедренный, углы при основании равны: \( \angle D = \angle B = 60^\circ \). Ответ: \( 60^\circ, 60^\circ \). Задача 5. Дано: \( \triangle PKE \), \( KC \perp PE \), \( KE = 9 \), \( \angle KPE_{vnesh} = 150^\circ \). Найти: \( CE, PC \). Решение: 1) \( \angle KPC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). 2) В \( \triangle KCE \): так как \( \angle KPC = 30^\circ \) и это внешний угол для \( \triangle PKE \), данных недостаточно для однозначного нахождения \( CE \) без угла \( E \). Если предположить по чертежу, что \( \angle E = 30^\circ \), то \( KC = 4,5 \). 3) В \( \triangle PKC \): \( PC = KC \cdot \sqrt{3} \). (Обычно в таких задачах \( \angle E = 30^\circ \), тогда \( CE = 9 \cdot \cos 30^\circ \)). Уточнение: Если \( \angle KEC = 30^\circ \), то \( KC = 4,5 \), \( CE = \sqrt{9^2 - 4,5^2} \approx 7,8 \). В \( \triangle PKC \): \( PC = KC \cdot \text{ctg} 30^\circ = 4,5 \cdot \sqrt{3} \). Задача 6. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AD \) — биссектриса, \( AD = 20 \), \( \angle B_{vnesh} = 150^\circ \). Найти: \( CD \). Решение: 1) \( \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). 2) В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). 3) Так как \( AD \) — биссектриса, \( \angle CAD = 60^\circ : 2 = 30^\circ \). 4) В \( \triangle ACD \): катет \( CD \) лежит против угла \( 30^\circ \): \[ CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \] Ответ: 10. Задача 7. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle B = 70^\circ \), \( AM = MB \). Найти: \( \angle MCA \). Решение: 1) \( CM \) — медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству медианы \( CM = AM = MB \). 2) Значит \( \triangle AMC \) — равнобедренный, \( \angle MCA = \angle MAC \). 3) \( \angle MAC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \). 4) Следовательно, \( \angle MCA = 20^\circ \). Ответ: 20. Задача 8. Дано: \( \triangle ABC \), \( AD = DC = BD \), \( \angle C = 25^\circ \). Найти: \( \angle A, \angle ABC \). Решение: 1) Так как \( AD = DC \), \( \triangle ADC \) — равнобедренный, \( \angle DAC = \angle C = 25^\circ \). Значит \( \angle A = 25^\circ \). 2) Так как медиана \( BD \) равна половине стороны \( AC \), то \( \triangle ABC \) — прямоугольный (\( \angle ABC = 90^\circ \)). Ответ: \( 25^\circ, 90^\circ \).