Решение задачи №51: Биссектрисы в параллелограмме

Решение задачи № 51 из представленного списка. Условие: Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке, лежащей на стороне \(BC\). Найдите \(BC\), если \(AB = 42\). Решение: 1. Пусть биссектрисы углов \(A\) и \(D\) пересекаются в точке \(M\), которая лежит на стороне \(BC\). 2. Рассмотрим угол \(BAM\). Так как \(AM\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle BAM = \angle MAD\). Так как \(BC \parallel AD\) (стороны параллелограмма), то \(\angle MAD = \angle BMA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей \(AM\). Следовательно, \(\angle BAM = \angle BMA\). 3. В треугольнике \(ABM\) два угла равны, значит, он равнобедренный с основанием \(AM\). Отсюда: \[BM = AB = 42\] 4. Рассмотрим угол \(CDM\). Так как \(DM\) — биссектриса угла \(D\), то \(\angle CDM = \angle MDA\). Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle MDA = \angle CMD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей \(DM\). Следовательно, \(\angle CDM = \angle CMD\). 5. В треугольнике \(MCD\) два угла равны, значит, он равнобедренный с основанием \(DM\). Отсюда: \[MC = CD\] Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то \(CD = AB = 42\). Значит: \[MC = 42\] 6. Сторона \(BC\) состоит из отрезков \(BM\) и \(MC\): \[BC = BM + MC\] \[BC = 42 + 42 = 84\] Ответ: 84. --- Решение задачи № 54. Условие: Найдите величину угла \(COE\), если \(OE\) — биссектриса угла \(AOC\), \(OD\) — биссектриса угла \(COB\), а угол \(COB = 35^\circ\) (согласно рисунку, где \(A, O, B\) лежат на одной прямой). Решение: 1. Углы \(AOC\) и \(COB\) являются смежными, так как точки \(A, O, B\) лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). \[\angle AOC = 180^\circ - \angle COB = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\] 2. Так как \(OE\) — биссектриса угла \(AOC\), то она делит его пополам: \[\angle COE = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{145^\circ}{2} = 72,5^\circ\] Ответ: 72,5. --- Ответы на теоретические вопросы: № 48. Какое из следующих утверждений верно? 1) Все углы ромба равны. (Неверно, только у квадрата) 2) Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого, то такие четырехугольники равны. (Неверно для четырехугольников, например, ромб и квадрат с одинаковой стороной) 3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности. (Верно) Ответ: 3. № 49. Какое из следующих утверждений верно? 1) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров. (Неверно, если радиусы разные) 2) В параллелограмме есть два равных угла. (Верно, противоположные углы равны) 3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. (Неверно, половине произведения) Ответ: 2.