Решение задачи: перевод градусов в радианы и нахождение тригонометрических функций

I ВАРИАНТ 1. Найти радианные меры углов: Для перевода из градусов в радианы используем формулу: \(\alpha_{рад} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}\) а) \(135^\circ = \frac{135 \cdot \pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\) б) \(36^\circ = \frac{36 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{5}\) в) \(-120^\circ = -\frac{120 \cdot \pi}{180} = -\frac{2\pi}{3}\) 2. Найти градусные меры углов: Для перевода из радиан в градусы используем формулу: \(\alpha^\circ = \frac{\alpha_{рад} \cdot 180^\circ}{\pi}\) а) \(\frac{5\pi}{4} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ\) б) \(-\frac{\pi}{3} = -\frac{180^\circ}{3} = -60^\circ\) 3. Найдите значения тригонометрических функций угла \(\alpha\), если известно, что: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) (I четверть, все функции положительны) Используем основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\) \(\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\) \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}\) \(\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{4}{3}\) 4. Вычислить: а) \(\arccos(-\frac{1}{2}) + \arcsin(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi - \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\) б) \(\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}\) 5. Имеют ли смысл выражения: (Область определения \(\arcsin x\) и \(\arccos x\) — это \([-1; 1]\)) а) \(\arcsin(-\frac{2}{3})\) — имеет смысл, так как \(-1 \le -\frac{2}{3} \le 1\) б) \(\arcsin 1,5\) — не имеет смысла, так как \(1,5 > 1\) в) \(\arccos(-\sqrt{3})\) — не имеет смысла, так как \(-\sqrt{3} \approx -1,73 < -1\) 6. Упростите выражение: \(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha - 1} + \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha\) Используем: \(\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha\), \(\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha\), \(\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1\) \(\frac{-\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} + 1 = \text{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\) 7. Докажите тождество: \(1 + \sin \alpha + \text{tg} \alpha + \cos \alpha = (1 + \cos \alpha)(1 + \text{tg} \alpha)\) Раскроем скобки в правой части: \((1 + \cos \alpha)(1 + \text{tg} \alpha) = 1 + \text{tg} \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha\) Так как \(\cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha\), получаем: \(1 + \text{tg} \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha\) Левая часть равна правой. Тождество доказано. 8. Решить уравнения: а) \(2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) б) \(\text{tg} x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \text{tg} x = -\sqrt{3}\) \(x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) в) \(2\sin x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\) 10. Решить уравнения: б) \(\cos 7x = \cos x\) \(\cos 7x - \cos x = 0\) \(-2\sin \frac{7x+x}{2} \sin \frac{7x-x}{2} = 0\) \(\sin 4x \cdot \sin 3x = 0\) 1) \(\sin 4x = 0 \Rightarrow 4x = \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}\) в) \(\cos x + \cos 2x = 0\) \(2\cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0\) 1) \(\cos \frac{3x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}\) 2) \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)