Решение линейного однородного дифференциального уравнения

Задание 2. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения по заданным корням характеристического уравнения. Дано: \[ k_1 = -1 \] \[ k_{2,3,4} = -2 \] \[ k_{5,6} = -4 \pm 3i \] \[ k_{7,8} = k_{9,10} = k_{11,12} = -9 \pm 4i \] Решение: Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения строится как сумма частных решений, соответствующих каждому корню с учетом его кратности. 1. Для простого действительного корня \( k_1 = -1 \) частное решение имеет вид: \[ y_1 = C_1 e^{-x} \] 2. Для действительного корня \( k = -2 \) кратности 3 частное решение имеет вид: \[ y_2 = (C_2 + C_3 x + C_4 x^2) e^{-2x} \] 3. Для пары комплексно-сопряженных корней \( k_{5,6} = -4 \pm 3i \) (кратность 1) частное решение имеет вид: \[ y_3 = e^{-4x} (C_5 \cos(3x) + C_6 \sin(3x)) \] 4. Для пары комплексно-сопряженных корней \( k = -9 \pm 4i \) кратности 3 частное решение имеет вид: \[ y_4 = e^{-9x} ((C_7 + C_8 x + C_9 x^2) \cos(4x) + (C_{10} + C_{11} x + C_{12} x^2) \sin(4x)) \] Общее решение уравнения представляет собой сумму всех полученных частей: \[ y(x) = C_1 e^{-x} + (C_2 + C_3 x + C_4 x^2) e^{-2x} + e^{-4x} (C_5 \cos(3x) + C_6 \sin(3x)) + \] \[ + e^{-9x} ((C_7 + C_8 x + C_9 x^2) \cos(4x) + (C_{10} + C_{11} x + C_{12} x^2) \sin(4x)) \] Ответ: \[ y = C_1 e^{-x} + (C_2 + C_3 x + C_4 x^2) e^{-2x} + e^{-4x} (C_5 \cos(3x) + C_6 \sin(3x)) + \] \[ + e^{-9x} ((C_7 + C_8 x + C_9 x^2) \cos(4x) + (C_{10} + C_{11} x + C_{12} x^2) \sin(4x)) \]