Решение контрольной работы: Квадратные уравнения, Вариант 1

Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» Вариант 1 Задание 1. Решите уравнение: а) \( 3x^2 - 15 = 0 \) \( 3x^2 = 15 \) \( x^2 = 5 \) \( x = \pm \sqrt{5} \) Ответ: \( -\sqrt{5}; \sqrt{5} \). б) \( x^2 + 7x = 0 \) \( x(x + 7) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( x + 7 = 0 \) \( x_2 = -7 \) Ответ: \( -7; 0 \). в) \( 12x^2 - 5x - 2 = 0 \) \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-2) = 25 + 96 = 121 \) \( \sqrt{D} = 11 \) \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} \) Ответ: \( -0,25; \frac{2}{3} \). г) \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 6 \) \( x_1 \cdot x_2 = -16 \) Подбором находим: \( x_1 = 8, x_2 = -2 \) Ответ: \( -2; 8 \). д) \( x^2 - 3x + 11 = 0 \) \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. е) \( (3x - 1)(3x + 1) - (x - 1)(x + 2) = 8 \) Раскроем скобки: \( (9x^2 - 1) - (x^2 + 2x - x - 2) = 8 \) \( 9x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - 8 = 0 \) \( 8x^2 - x - 7 = 0 \) \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 1 + 224 = 225 \) \( \sqrt{D} = 15 \) \( x_1 = \frac{1 + 15}{16} = 1 \) \( x_2 = \frac{1 - 15}{16} = -\frac{14}{16} = -0,875 \) Ответ: \( -0,875; 1 \). Задание 2. Пусть \( x \) см — ширина прямоугольника, тогда \( (x + 7) \) см — его длина. Площадь \( S = x(x + 7) = 44 \). \( x^2 + 7x - 44 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -7 \) \( x_1 \cdot x_2 = -44 \) Корни: \( x_1 = 4, x_2 = -11 \). Так как длина стороны не может быть отрицательной, \( x = 4 \) см (ширина). Длина: \( 4 + 7 = 11 \) см. Периметр: \( P = 2 \cdot (4 + 11) = 2 \cdot 15 = 30 \) см. Ответ: 30 см. Задание 3. Дано уравнение \( x^2 + bx - 6 = 0 \) и корень \( x_1 = -6 \). По теореме Виета: \( x_1 \cdot x_2 = -6 \) \( -6 \cdot x_2 = -6 \) \( x_2 = 1 \) (второй корень). Также по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -b \) \( -6 + 1 = -b \) \( -5 = -b \) \( b = 5 \) Ответ: \( x_2 = 1, b = 5 \).