Решение задачи: дуга окружности, угол и длина

Дано: Дуга составляет \( \frac{5}{18} \) окружности. Радиус \( R = 4 \) см. Найти: а) Градусную и радианную меры центрального угла \( \alpha \). б) Длину дуги \( l \). Решение: а) Полная окружность в градусной мере составляет \( 360^\circ \). Чтобы найти градусную меру центрального угла, соответствующего данной дуге, нужно умножить \( 360^\circ \) на долю дуги от окружности: \[ \alpha = 360^\circ \cdot \frac{5}{18} \] \[ \alpha = \frac{360^\circ \cdot 5}{18} = 20^\circ \cdot 5 = 100^\circ \] Полная окружность в радианной мере составляет \( 2\pi \) радиан. Находим радианную меру угла: \[ \alpha_{рад} = 2\pi \cdot \frac{5}{18} \] \[ \alpha_{рад} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9} \] б) Длина дуги \( l \) вычисляется по формуле \( l = \alpha_{рад} \cdot R \), где \( \alpha_{рад} \) — угол в радианах, а \( R \) — радиус. Подставим известные значения: \[ l = \frac{5\pi}{9} \cdot 4 \] \[ l = \frac{20\pi}{9} \text{ см} \] Если необходимо перевести в десятичный вид (при \( \pi \approx 3,14 \)): \[ l \approx \frac{20 \cdot 3,14}{9} \approx \frac{62,8}{9} \approx 6,98 \text{ см} \] Ответ: а) \( 100^\circ \); \( \frac{5\pi}{9} \) рад. б) \( \frac{20\pi}{9} \) см.