Решение задачи: sin α = 12/13, найти cos α, tg α, ctg α

Решение задачи №8 (пункт а). Условие: Дано: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Найти: \( \cos \alpha \), \( \text{tg} \alpha \), \( \text{ctg} \alpha \). Решение: 1. Найдем \( \cos \alpha \), используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} \] Так как по условию \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (вторая четверть), то косинус в этой четверти отрицательный: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{25}{169}} = -\frac{5}{13} \] 2. Найдем \( \text{tg} \alpha \): \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] \[ \text{tg} \alpha = \frac{12}{13} : \left( -\frac{5}{13} \right) = \frac{12}{13} \cdot \left( -\frac{13}{5} \right) = -\frac{12}{5} = -2,4 \] 3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \): \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \] \[ \text{ctg} \alpha = 1 : \left( -\frac{12}{5} \right) = -\frac{5}{12} \] Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \); \( \text{tg} \alpha = -2,4 \); \( \text{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \). --- Решение задачи №8 (пункт б). Условие: Дано: \( \cos \alpha = -0,6 \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Найти: \( \sin \alpha \), \( \text{tg} \alpha \), \( \text{ctg} \alpha \). Решение: 1. Найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \] Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (вторая четверть), синус в этой четверти положительный: \[ \sin \alpha = \sqrt{0,64} = 0,8 \] 2. Найдем \( \text{tg} \alpha \): \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \] 3. Найдем \( \text{ctg} \alpha \): \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -\frac{3}{4} = -0,75 \] Ответ: \( \sin \alpha = 0,8 \); \( \text{tg} \alpha = -1\frac{1}{3} \); \( \text{ctg} \alpha = -0,75 \).