Сокращение дробей: решение задачи 2.12

2.12. Сократите дробь Для сокращения дробей сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. 1) \[ \frac{a-1}{a^2-1} = \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1}{a+1} \] 2) \[ \frac{a^2-b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b \] 3) \[ \frac{a^2-b^2}{7a+7b} = \frac{(a-b)(a+b)}{7(a+b)} = \frac{a-b}{7} \] 4) \[ \frac{a^2-16}{3a-12} = \frac{(a-4)(a+4)}{3(a-4)} = \frac{a+4}{3} \] 5) \[ \frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2} = \frac{a+b}{a-b} \] 6) \[ \frac{x^2+2xy+y^2}{3x+3y} = \frac{(x+y)^2}{3(x+y)} = \frac{x+y}{3} \] 7) \[ \frac{x^2+4x+4}{3x+6} = \frac{(x+2)^2}{3(x+2)} = \frac{x+2}{3} \] 8) \[ \frac{9-6x+x^2}{(x-3)(x-4)} = \frac{(3-x)^2}{(x-3)(x-4)} = \frac{(x-3)^2}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-3}{x-4} \] (Примечание: \( (3-x)^2 = (x-3)^2 \), так как квадрат числа и квадрат противоположного ему числа равны). 9) \[ \frac{(x^2-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{((x-1)(x+1))^2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2 \cdot (x+1)^2}{(x+1)^2} = (x-1)^2 \] 10) \[ \frac{(x^2-1)^2}{(x^2+1)^2-4x^2} = \frac{(x^2-1)^2}{(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)} = \frac{(x^2-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2} = \frac{(x^2-1)^2}{((x-1)(x+1))^2} = \frac{(x^2-1)^2}{(x^2-1)^2} = 1 \] 11) \[ \frac{(a+b)^2-4ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a-b}{a+b} \]