Решение неравенства (3x-6)(x+5) > 0

Решение задач по алгебре (II вариант). Задание 1. Решить неравенство: \[ (3x - 6)(x + 5) > 0 \] Решим методом интервалов. Найдем корни уравнения \( (3x - 6)(x + 5) = 0 \): 1) \( 3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \) 2) \( x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \) Отметим точки на числовой прямой (точки выколотые, так как знак неравенства строгий). Определим знаки на интервалах: На интервале \( (-\infty; -5) \) возьмем \( x = -6 \): \( (3(-6)-6)(-6+5) = (-24)(-1) = 24 > 0 \) (знак +) На интервале \( (-5; 2) \) возьмем \( x = 0 \): \( (3(0)-6)(0+5) = (-6)(5) = -30 < 0 \) (знак -) На интервале \( (2; +\infty) \) возьмем \( x = 3 \): \( (3(3)-6)(3+5) = (3)(8) = 24 > 0 \) (знак +) Нам нужны интервалы со знаком "+". Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty) \) Задание 2. Решить неравенство: \[ 5x^2 - 25 < 0 \] Разделим обе части неравенства на 5: \[ x^2 - 5 < 0 \] Разложим на множители по формуле разности квадратов: \[ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) < 0 \] Корни: \( x_1 = \sqrt{5} \), \( x_2 = -\sqrt{5} \). Графиком функции \( y = x^2 - 5 \) является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями. Ответ: \( x \in (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \) Задание 3. Решить неравенство: \[ x^2 - 6x \ge 0 \] Разложим левую часть на множители, вынеся \( x \) за скобки: \[ x(x - 6) \ge 0 \] Найдем корни: 1) \( x = 0 \) 2) \( x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \) Отметим закрашенные точки 0 и 6 на прямой. Парабола ветвями вверх. Значения больше или равны нулю находятся по краям от корней. Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [6; +\infty) \)