Решение задачи №427: Сократить дробь (x^4 - x^3 + 8x^2 - 3x + 15) / (x^2 - x + 5)

Задание №427. Сократите дробь: \[ \frac{x^4 - x^3 + 8x^2 - 3x + 15}{x^2 - x + 5} \] Решение: Для того чтобы сократить дробь, попробуем разложить числитель на множители или выполнить деление многочлена на многочлен "уголком". Заметим, что в числителе можно сгруппировать слагаемые так, чтобы выделить выражение, похожее на знаменатель. Перепишем числитель, представив \( 8x^2 \) как \( 5x^2 + 3x^2 \): \[ x^4 - x^3 + 5x^2 + 3x^2 - 3x + 15 \] Теперь сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых: \[ (x^4 - x^3 + 5x^2) + (3x^2 - 3x + 15) \] Вынесем общий множитель \( x^2 \) из первой скобки и \( 3 \) из второй скобки: \[ x^2(x^2 - x + 5) + 3(x^2 - x + 5) \] Теперь мы видим общий множитель \( (x^2 - x + 5) \). Вынесем его за скобки: \[ (x^2 - x + 5)(x^2 + 3) \] Подставим полученное выражение обратно в дробь: \[ \frac{(x^2 - x + 5)(x^2 + 3)}{x^2 - x + 5} \] Сократим дробь на общий множитель \( x^2 - x + 5 \). При этом стоит отметить, что знаменатель не должен быть равен нулю. Проверим дискриминант выражения \( x^2 - x + 5 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19 \] Так как \( D < 0 \), выражение \( x^2 - x + 5 \) всегда положительно и никогда не равно нулю, значит сокращение корректно для любых \( x \). После сокращения получаем: \[ x^2 + 3 \] Ответ: \( x^2 + 3 \).