Решение: Экзаменационный билет № 12 - Вопрос 1. Свойства определителей

Экзаменационный билет № 12 Вопрос 1. Свойства определителей Определитель (детерминант) — это числовая характеристика квадратной матрицы. Основные свойства: 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы: \( \det(A) = \det(A^T) \). 2. Если поменять местами две параллельные строки (или столбца), то знак определителя изменится на противоположный. 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. 4. Если все элементы строки (столбца) умножить на число \( k \), то и определитель умножится на это число. 5. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то он равен нулю. 6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. 7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: \( \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) \). Вопрос 2. Способы задания непрерывной случайной величины Непрерывная случайная величина (НСВ) может принимать любые значения из некоторого интервала. Основные способы её задания: 1. Функция распределения \( F(x) \). Она определяет вероятность того, что случайная величина \( X \) примет значение, меньшее \( x \): \[ F(x) = P(X < x) \] Свойства: \( F(x) \) — неубывающая функция, значения лежат в пределах от 0 до 1. 2. Плотность распределения вероятностей \( f(x) \). Это производная от функции распределения: \[ f(x) = F'(x) \] Вероятность попадания величины в интервал \( (a, b) \) вычисляется через интеграл: \[ P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) dx \] Свойство нормировки: \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \). Вопрос 3. Найти интервалы монотонности для функции: \( y = -3x^2 + 4x - 8 \) Решение: Для нахождения интервалов монотонности (возрастания и убывания) необходимо найти производную функции и определить её знаки. 1. Находим производную функции: \[ y' = (-3x^2 + 4x - 8)' = -6x + 4 \] 2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -6x + 4 = 0 \] \[ -6x = -4 \] \[ x = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3} \] 3. Определяем знаки производной на интервалах: — На интервале \( (-\infty; \frac{2}{3}) \): возьмем \( x = 0 \), тогда \( y'(0) = -6(0) + 4 = 4 > 0 \). Функция возрастает. — На интервале \( (\frac{2}{3}; +\infty) \): возьмем \( x = 1 \), тогда \( y'(1) = -6(1) + 4 = -2 < 0 \). Функция убывает. Ответ: Функция возрастает на интервале \( (-\infty; \frac{2}{3}] \). Функция убывает на интервале \( [\frac{2}{3}; +\infty) \).