Единичная полуокружность: Нахождение точек на полуокружности

Задание: Единичная полуокружность. Отметьте все точки, которые лежат на единичной полуокружности, заданной уравнением \( x^2 + y^2 = 1 \) при условии \( y \geqslant 0 \). Решение для записи в тетрадь: Чтобы точка лежала на данной полуокружности, её координаты должны удовлетворять двум условиям: 1) Сумма квадратов координат должна быть равна единице: \( x^2 + y^2 = 1 \). 2) Ордината точки должна быть неотрицательной: \( y \geqslant 0 \). Проверим предложенные точки: 1. \( (0; -1) \) Условие \( y \geqslant 0 \) не выполняется (\( -1 < 0 \)). Точка не подходит. 2. \( (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \) \[ (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \neq 1 \] Точка не подходит. 3. \( (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \) \[ (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Условие \( y \geqslant 0 \) выполняется (\( \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \)). Точка подходит. 4. \( (\frac{\sqrt{7}}{4}; \frac{\sqrt{9}}{4}) \) \[ (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{7}{16} + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} = 1 \] Условие \( y \geqslant 0 \) выполняется (\( \frac{3}{4} > 0 \)). Точка подходит. 5. \( (\frac{\sqrt{8}}{5}; \frac{\sqrt{17}}{5}) \) \[ (\frac{\sqrt{8}}{5})^2 + (\frac{\sqrt{17}}{5})^2 = \frac{8}{25} + \frac{17}{25} = \frac{25}{25} = 1 \] Условие \( y \geqslant 0 \) выполняется (\( \frac{\sqrt{17}}{5} > 0 \)). Точка подходит. 6. \( (-1; 0) \) \[ (-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1 \] Условие \( y \geqslant 0 \) выполняется (\( 0 = 0 \)). Точка подходит. Правильные ответы: — \( (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}) \) — \( (\frac{\sqrt{7}}{4}; \frac{\sqrt{9}}{4}) \) — \( (\frac{\sqrt{8}}{5}; \frac{\sqrt{17}}{5}) \) — \( (-1; 0) \)