Найти сторону AB треугольника по теореме синусов

Задание: Теорема синусов. Найдите сторону \( AB \) треугольника \( ABC \), если известно, что радиус описанной около него окружности равен \( \sqrt{2} \), а \( \angle ACB = 45^\circ \). Решение для записи в тетрадь: Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая устанавливает связь между стороной треугольника, синусом противолежащего ей угла и радиусом описанной окружности: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] В нашем случае: — Сторона \( c = AB \) (искомая сторона). — Противолежащий ей угол \( \angle C = \angle ACB = 45^\circ \). — Радиус описанной окружности \( R = \sqrt{2} \). Запишем формулу для стороны \( AB \): \[ \frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R \] Выразим \( AB \): \[ AB = 2R \cdot \sin \angle ACB \] Подставим известные значения: \[ AB = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ \] Вспомним значение синуса для угла \( 45^\circ \): \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Выполним вычисления: \[ AB = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \] \[ AB = 2 \] Ответ: 2