Практическая работа №22: Вычисление производных

Практическая работа № 22 Тема: Вычисление производных основных элементарных функций. Задание 1. Вычислить производную функции: а) \( y = 6x - 13 \) \[ y' = (6x - 13)' = 6 \] б) \( y = 4x^2 - 5x + 10 \) \[ y' = (4x^2 - 5x + 10)' = 8x - 5 \] в) \( y = 2x^{10} - 3x^5 + 4x^2 - 5\sqrt{x} + 2 \) \[ y' = (2x^{10} - 3x^5 + 4x^2 - 5\sqrt{x} + 2)' = 20x^9 - 15x^4 + 8x - \frac{5}{2\sqrt{x}} \] Задание 2. Вычислить производную функции: а) \( y = (5x - x^3)(2 + 4x^2) \) Используем формулу \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (5x - x^3)'(2 + 4x^2) + (5x - x^3)(2 + 4x^2)' \] \[ y' = (5 - 3x^2)(2 + 4x^2) + (5x - x^3)(8x) \] \[ y' = 10 + 20x^2 - 6x^2 - 12x^4 + 40x^2 - 8x^4 \] \[ y' = -20x^4 + 54x^2 + 10 \] б) \( y = (3x^4 - 2x + x^2)(7x + 1) \) \[ y' = (3x^4 - 2x + x^2)'(7x + 1) + (3x^4 - 2x + x^2)(7x + 1)' \] \[ y' = (12x^3 - 2 + 2x)(7x + 1) + (3x^4 - 2x + x^2)(7) \] \[ y' = 84x^4 + 12x^3 - 14x - 2 + 14x^2 + 2x + 21x^4 - 14x + 7x^2 \] \[ y' = 105x^4 + 12x^3 + 21x^2 - 26x - 2 \] Задание 3. Вычислить производную функции: \[ y = \frac{5x + 1}{x^2 - 1} \] Используем формулу \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ y' = \frac{(5x + 1)'(x^2 - 1) - (5x + 1)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} \] \[ y' = \frac{5(x^2 - 1) - (5x + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \] \[ y' = \frac{5x^2 - 5 - 10x^2 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-5x^2 - 2x - 5}{(x^2 - 1)^2} \] Задание 4. Вычислить производную функции: \[ y = \frac{3}{x^{14}} + \frac{1}{6x^2} - \frac{5}{x^3} + 4 \] Перепишем в виде степеней: \( y = 3x^{-14} + \frac{1}{6}x^{-2} - 5x^{-3} + 4 \) \[ y' = 3 \cdot (-14)x^{-15} + \frac{1}{6} \cdot (-2)x^{-3} - 5 \cdot (-3)x^{-4} + 0 \] \[ y' = -42x^{-15} - \frac{1}{3}x^{-3} + 15x^{-4} = -\frac{42}{x^{15}} - \frac{1}{3x^3} + \frac{15}{x^4} \] Задание 5. Вычислить: а) \( f'(-2) \), если \( f(x) = 7x^2 - 4x + 123 \) \[ f'(x) = 14x - 4 \] \[ f'(-2) = 14 \cdot (-2) - 4 = -28 - 4 = -32 \] б) \( f'(1) + f'(-1) \), если \( f(x) = \frac{-7x^3}{3} + \frac{4}{x^2} \) Перепишем: \( f(x) = -\frac{7}{3}x^3 + 4x^{-2} \) \[ f'(x) = -\frac{7}{3} \cdot 3x^2 + 4 \cdot (-2)x^{-3} = -7x^2 - \frac{8}{x^3} \] \[ f'(1) = -7(1)^2 - \frac{8}{1^3} = -7 - 8 = -15 \] \[ f'(-1) = -7(-1)^2 - \frac{8}{(-1)^3} = -7 - (-8) = -7 + 8 = 1 \] \[ f'(1) + f'(-1) = -15 + 1 = -14 \]