Скаляры в треугольнике ABC: Решение задачи

Задание: Скаляры в треугольнике. В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) гипотенузой является сторона \( AB = 6\sqrt{2} \). Решение для записи в тетрадь: 1. Найдем катеты треугольника. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), то \( AC = BC \). По теореме Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] \[ 2 \cdot BC^2 = (6\sqrt{2})^2 \] \[ 2 \cdot BC^2 = 36 \cdot 2 \] \[ BC^2 = 36 \implies BC = 6, \quad AC = 6 \] 2. Найдем угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \). — В треугольнике \( \triangle ABC \) углы при гипотенузе равны \( 45^\circ \), то есть \( \angle ABC = 45^\circ \). — Чтобы найти угол между векторами, их нужно совместить началами. Если мы перенесем вектор \( \vec{AB} \) так, чтобы его начало совпало с началом вектора \( \vec{CB} \) (точка \( C \)), или просто посмотрим на их направления: вектор \( \vec{CB} \) идет вдоль катета, а \( \vec{AB} \) — вдоль гипотенузы "от \( A \) к \( B \)". — Угол между прямой \( AB \) и \( CB \) равен \( 45^\circ \). Однако вектор \( \vec{AB} \) направлен к вершине \( B \), а \( \vec{CB} \) также направлен к вершине \( B \). Угол между ними — это внутренний угол треугольника при вершине \( B \). \[ \angle(\vec{AB}, \vec{CB}) = 45^\circ \] 3. Найдем скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CB} \): По определению скалярного произведения: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle(\vec{AB}, \vec{CB})) \] Подставим значения: \[ |\vec{AB}| = 6\sqrt{2} \] \[ |\vec{CB}| = 6 \] \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Вычисляем: \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 6\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 36 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \] \[ \vec{AB} \cdot \vec{CB} = 36 \cdot \frac{2}{2} = 36 \] Ответы: Угол между векторами: 45 Скалярное произведение: 36