Решение: Практическая работа №23 - Производные функций

Практическая работа № 23 Тема: Решение задач с применением формул дифференцирования и таблицы производных. Задание 1. Найдите производные функций: а) \( f(x) = (4 - x^2) \cos x \) Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ f'(x) = (4 - x^2)' \cos x + (4 - x^2) (\cos x)' \] \[ f'(x) = -2x \cos x + (4 - x^2) (-\sin x) \] \[ f'(x) = -2x \cos x - (4 - x^2) \sin x \] б) \( f(x) = \frac{\sin x}{2 - x^3} \) Используем правило производной частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ f'(x) = \frac{(\sin x)' (2 - x^3) - \sin x (2 - x^3)'}{(2 - x^3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{\cos x (2 - x^3) - \sin x (-3x^2)}{(2 - x^3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2 - x^3) \cos x + 3x^2 \sin x}{(2 - x^3)^2} \] Задание 2. Вычислить производную сложной функции: а) \( f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^2} = (2x - 1)^{-2} \) \[ f'(x) = -2(2x - 1)^{-3} \cdot (2x - 1)' = -2(2x - 1)^{-3} \cdot 2 = -\frac{4}{(2x - 1)^3} \] б) \( f(x) = (3 - x)^4 \) \[ f'(x) = 4(3 - x)^3 \cdot (3 - x)' = 4(3 - x)^3 \cdot (-1) = -4(3 - x)^3 \] в) \( f(x) = e^{-3x} \) \[ f'(x) = e^{-3x} \cdot (-3x)' = -3e^{-3x} \] г) \( f(x) = 2 \log_3 2x \) \[ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2x \ln 3} \cdot (2x)' = 2 \cdot \frac{2}{2x \ln 3} = \frac{2}{x \ln 3} \] д) \( f(x) = \text{tg } x^3 \) \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x^3} \cdot (x^3)' = \frac{3x^2}{\cos^2 x^3} \] е) \( f(x) = \cos(x^2 + 4x + 12) \) \[ f'(x) = -\sin(x^2 + 4x + 12) \cdot (x^2 + 4x + 12)' = -(2x + 4) \sin(x^2 + 4x + 12) \] Задание 3. Вычислить производную сложной функции в точке: \( y = 2x \ln x - x \ln 49 \) в точке \( x = 7 \). 1. Найдем производную функции: \[ y' = (2x \ln x)' - (x \ln 49)' \] Для первого слагаемого используем правило произведения: \[ (2x \ln x)' = (2x)' \ln x + 2x (\ln x)' = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2 \] Для второго слагаемого (\( \ln 49 \) — это константа): \[ (x \ln 49)' = \ln 49 \] Итого производная: \[ y' = 2 \ln x + 2 - \ln 49 \] 2. Вычислим значение в точке \( x = 7 \): Заметим, что \( \ln 49 = \ln(7^2) = 2 \ln 7 \). \[ y'(7) = 2 \ln 7 + 2 - 2 \ln 7 \] \[ y'(7) = 2 \] Ответ: 2.