Решение: Расстояние от точки до прямой в пространстве

Решение задач по теме: Расстояние от точки до прямой в пространстве. Общее условие: \(BK \perp (ABC)\). Требуется найти расстояние от точки \(K\) до прямой \(AC\). По теореме о трех перпендикулярах: если провести \(BH \perp AC\), то \(KH \perp AC\). Следовательно, искомое расстояние — это длина отрезка \(KH\). Из прямоугольного треугольника \(KBH\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \[KH = \sqrt{BK^2 + BH^2}\] Задача 18, а Дано: \(\triangle ABC\) — равносторонний, \(AB=BC=AC=6\), \(BK=5\). 1. Находим высоту \(BH\) в равностороннем треугольнике \(ABC\): \[BH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\] 2. Находим \(KH\): \[KH = \sqrt{5^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 + 27} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\] Ответ: \(2\sqrt{13}\). Задача 18, б Дано: \(\angle ABC = 90^\circ\), \(AB=15\), \(BC=20\), \(BK=9\). 1. Находим гипотенузу \(AC\): \[AC = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = 25\] 2. Находим высоту \(BH\), проведенную к гипотенузе: \[BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12\] 3. Находим \(KH\): \[KH = \sqrt{BK^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] Ответ: 15. Задача 18, в Дано: \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC=3\), \(AB=6\), \(BK=3\). 1. Так как \(\angle ACB = 90^\circ\), то отрезок \(BC\) и есть перпендикуляр из точки \(B\) к прямой \(AC\). Значит, \(H\) совпадает с \(C\). 2. Находим \(BC\) по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\] 3. Искомое расстояние \(KC\): \[KC = \sqrt{BK^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\] Ответ: 6. Задача 18, г Дано: \(ACDF\) — квадрат, \(AK=4\), \(\angle BAK = 60^\circ\), \(BK \perp (ABC)\). 1. Из прямоугольного треугольника \(KBA\) (\(\angle B = 90^\circ\)): \[BK = AK \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\] \[AB = AK \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\] 2. Так как \(ACDF\) — квадрат, то сторона \(AC = AB = 2\) (так как \(B\) — центр или проекция, исходя из чертежа \(BK \perp\) плоскости квадрата, где \(B\) лежит на пересечении диагоналей или является вершиной). Судя по рисунку, \(B\) — вершина квадрата, тогда \(BH \perp AC\) в квадрате — это сторона \(AB\) или \(BC\). Если \(B\) — вершина, то \(BH = AB = 2\). 3. Находим \(KH\): \[KH = \sqrt{BK^2 + AB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4\] Ответ: 4.