Решение:

Задание: Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. \[ y^{IV} - 4y''' + 6y'' - 4y' + y = e^t \] Решение: 1. Найдем общее решение однородного уравнения: \[ y^{IV} - 4y''' + 6y'' - 4y' + y = 0 \] Составим характеристическое уравнение: \[ k^4 - 4k^3 + 6k^2 - 4k + 1 = 0 \] Заметим, что левая часть представляет собой разложение бинома Ньютона \( (k-1)^4 \): \[ (k-1)^4 = 0 \] Отсюда корень \( k = 1 \) имеет кратность \( m = 4 \). Общее решение однородного уравнения \( y_{оо} \) имеет вид: \[ y_{оо} = (C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 t^3) e^t \] 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения \( y_{чн} \): Правая часть уравнения имеет вид \( f(t) = e^t \). Так как число \( 1 \) в показателе экспоненты совпадает с корнем характеристического уравнения кратности \( m = 4 \), то частное решение ищем в виде: \[ y_{чн} = A \cdot t^4 \cdot e^t \] Найдем производные функции \( y_{чн} \): \[ y' = A(4t^3 + t^4)e^t \] \[ y'' = A(12t^2 + 8t^3 + t^4)e^t \] \[ y''' = A(24t + 36t^2 + 12t^3 + t^4)e^t \] \[ y^{IV} = A(24 + 96t + 72t^2 + 16t^3 + t^4)e^t \] Подставим производные в исходное уравнение и сократим на \( e^t \): \[ A(24 + 96t + 72t^2 + 16t^3 + t^4) - 4A(24t + 36t^2 + 12t^3 + t^4) + 6A(12t^2 + 8t^3 + t^4) - 4A(4t^3 + t^4) + At^4 = 1 \] После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых (все члены с \( t \), \( t^2 \), \( t^3 \), \( t^4 \) сократятся): \[ 24A = 1 \implies A = \frac{1}{24} \] Следовательно, частное решение: \[ y_{чн} = \frac{1}{24} t^4 e^t \] 3. Запишем общее решение исходного уравнения: \[ y(t) = y_{оо} + y_{чн} \] \[ y(t) = (C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 t^3) e^t + \frac{1}{24} t^4 e^t \] Ответ: \( y(t) = (C_1 + C_2 t + C_3 t^2 + C_4 t^3 + \frac{1}{24} t^4) e^t \)