Решение задач по теореме Пифагора

Ниже представлены решения задач с использованием теоремы Пифагора и свойств геометрических фигур. Задача 1 Дано: прямоугольный треугольник с катетами 3 и 3. Найти гипотенузу \(x\). По теореме Пифагора: \[x^2 = 3^2 + 3^2\] \[x^2 = 9 + 9 = 18\] \[x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] Ответ: \(x = 3\sqrt{2}\). Задача 2 Дано: прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 6. Найти катет \(x\). По теореме Пифагора: \[x^2 + 6^2 = 10^2\] \[x^2 + 36 = 100\] \[x^2 = 64\] \[x = 8\] Ответ: \(x = 8\). Задача 3 Дано: квадрат со стороной \(x\) и диагональю 6. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю: \[x^2 + x^2 = 6^2\] \[2x^2 = 36\] \[x^2 = 18\] \[x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\] Ответ: \(x = 3\sqrt{2}\). Задача 4 Дано: прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и катетом 8. Найти катет \(x\) и площадь \(S\). 1) Находим \(x\): \[x^2 + 8^2 = 10^2\] \[x^2 + 64 = 100\] \[x^2 = 36 \Rightarrow x = 6\] 2) Находим площадь: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\] Ответ: \(x = 6\), \(S = 24\). Задача 5 Дано: равнобедренный треугольник, высота \(h = 10\), основание 12 см. Найти боковую сторону \(x\). Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам: \(12 / 2 = 6\) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 10 и 6: \[x^2 = 10^2 + 6^2\] \[x^2 = 100 + 36 = 136\] \[x = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\] Ответ: \(x = 2\sqrt{34}\). Задача 6 Дано: прямоугольный треугольник, угол \(30^\circ\), противолежащий катет \(a\). Найти прилежащий катет \(x\). Используем определение тангенса или котангенса: \[ctg(30^\circ) = \frac{x}{a}\] \[\sqrt{3} = \frac{x}{a} \Rightarrow x = a\sqrt{3}\] Если рассматривать через гипотенузу: гипотенуза равна \(2a\) (катет против \(30^\circ\)), тогда: \[x^2 + a^2 = (2a)^2\] \[x^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2 \Rightarrow x = a\sqrt{3}\] Ответ: \(x = a\sqrt{3}\).