Решение задач 6.1.45 и 6.1.46

Решение задач 6.1.45 и 6.1.46. Задача 6.1.45. Дано: 4 пианиста, 5 скрипачей, 6 баянистов. Нужно выбрать по 3 победителя в каждой номинации. Решение: Так как порядок выбора победителей внутри одной номинации не важен, используем формулу сочетаний \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \). 1) Выбор 3 пианистов из 4: \[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4 \] 2) Выбор 3 скрипачей из 5: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10 \] 3) Выбор 3 баянистов из 6: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20 \] По правилу произведения общее количество способов: \[ N = C_4^3 \cdot C_5^3 \cdot C_6^3 = 4 \cdot 10 \cdot 20 = 800 \] Ответ: 800 способами. Задача 6.1.46. Дано: 4 цвета (красный, желтый, зеленый, черный). Флаг из 3 вертикальных полос. Одна полоса обязательно зеленая. Цвета в полосатом флаге обычно не повторяются (иначе полосы сольются). Решение: 1) Определим общее количество способов составить флаг из 3 разных цветов из 4 имеющихся. Порядок важен, поэтому используем размещения: \[ A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \] 2) Определим количество способов составить флаг, в котором НЕТ зеленого цвета. Это значит, что мы выбираем 3 цвета из 3 оставшихся (красный, желтый, черный): \[ A_3^3 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \] 3) Чтобы найти количество флагов, где хотя бы одна полоса зеленая, нужно из общего числа вариантов вычесть варианты без зеленого цвета: \[ N = 24 - 6 = 18 \] Ответ: 18 способами.