Решение задачи №4: Система уравнений

Решение задачи №4. а) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 = 0 \\ 2x^2 - 3xy + 5y^2 = 16 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\). Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на \(y^2\) (при условии \(y \neq 0\). Если \(y = 0\), то из уравнения следует \(x = 0\), но пара \((0, 0)\) не является решением второго уравнения, так как \(0 \neq 16\)). Пусть \(t = \frac{x}{y}\), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \] По теореме Виета корни уравнения: \(t_1 = 1\) и \(t_2 = 3\). 2. Случай 1: \(t = 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y\). Подставим во второе уравнение системы: \[ 2y^2 - 3y^2 + 5y^2 = 16 \] \[ 4y^2 = 16 \] \[ y^2 = 4 \] Отсюда \(y_1 = 2, y_2 = -2\). Так как \(x = y\), получаем первые две пары решений: \((2; 2)\) и \((-2; -2)\). 3. Случай 2: \(t = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y\). Подставим во второе уравнение системы: \[ 2(3y)^2 - 3(3y)y + 5y^2 = 16 \] \[ 18y^2 - 9y^2 + 5y^2 = 16 \] \[ 14y^2 = 16 \] \[ y^2 = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} \] Отсюда \(y_3 = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2\sqrt{14}}{7}\), \(y_4 = -\frac{2\sqrt{14}}{7}\). Находим \(x = 3y\): \(x_3 = \frac{6\sqrt{14}}{7}\), \(x_4 = -\frac{6\sqrt{14}}{7}\). Ответ к пункту а): \((2; 2), (-2; -2), (\frac{6\sqrt{14}}{7}; \frac{2\sqrt{14}}{7}), (-\frac{6\sqrt{14}}{7}; -\frac{2\sqrt{14}}{7})\). б) Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 6xy + 8y^2 = 0 \\ 3x^2 - xy + 4y^2 = 56 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение: \(x^2 - 6xy + 8y^2 = 0\). Разделим на \(y^2\) и введем замену \(t = \frac{x}{y}\): \[ t^2 - 6t + 8 = 0 \] Корни по теореме Виета: \(t_1 = 2\) и \(t_2 = 4\). 2. Случай 1: \(t = 2 \Rightarrow x = 2y\). Подставим во второе уравнение: \[ 3(2y)^2 - (2y)y + 4y^2 = 56 \] \[ 12y^2 - 2y^2 + 4y^2 = 56 \] \[ 14y^2 = 56 \] \[ y^2 = 4 \] Отсюда \(y_1 = 2, y_2 = -2\). Находим \(x = 2y\): \(x_1 = 4, x_2 = -4\). Получаем пары: \((4; 2)\) и \((-4; -2)\). 3. Случай 2: \(t = 4 \Rightarrow x = 4y\). Подставим во второе уравнение: \[ 3(4y)^2 - (4y)y + 4y^2 = 56 \] \[ 48y^2 - 4y^2 + 4y^2 = 56 \] \[ 48y^2 = 56 \] \[ y^2 = \frac{56}{48} = \frac{7}{6} \] Отсюда \(y_3 = \sqrt{\frac{7}{6}} = \frac{\sqrt{42}}{6}\), \(y_4 = -\frac{\sqrt{42}}{6}\). Находим \(x = 4y\): \(x_3 = \frac{4\sqrt{42}}{6} = \frac{2\sqrt{42}}{3}\), \(x_4 = -\frac{2\sqrt{42}}{3}\). Ответ к пункту б): \((4; 2), (-4; -2), (\frac{2\sqrt{42}}{3}; \frac{\sqrt{42}}{6}), (-\frac{2\sqrt{42}}{3}; -\frac{\sqrt{42}}{6})\).