Решение задач на Производную Функции

Решение домашнего задания по теме Производная функции. 1. Найти производные функций: 1) \( y = x^2 + \sqrt{x^3} + \sqrt[3]{x} \) Перепишем в степенном виде: \( y = x^2 + x^{3/2} + x^{1/3} \) \[ y' = 2x + \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x + \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \] 2) \( y = 2x^7 - \frac{6}{x^3} - 7 \) Перепишем: \( y = 2x^7 - 6x^{-3} - 7 \) \[ y' = 14x^6 - 6 \cdot (-3)x^{-4} - 0 = 14x^6 + \frac{18}{x^4} \] 3) \( y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x^5}} + 4x \) Перепишем: \( y = x^{1/3} - x^{-5/2} + 4x \) \[ y' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - (-\frac{5}{2})x^{-7/2} + 4 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{5}{2\sqrt{x^7}} + 4 \] 4) \( y = (7x - 2)^5 \) Используем правило производной сложной функции: \[ y' = 5(7x - 2)^4 \cdot (7x - 2)' = 5(7x - 2)^4 \cdot 7 = 35(7x - 2)^4 \] 5) \( y = \sqrt[3]{(5x + 3)^2} \) Перепишем: \( y = (5x + 3)^{2/3} \) \[ y' = \frac{2}{3}(5x + 3)^{-1/3} \cdot (5x + 3)' = \frac{2}{3\sqrt[3]{5x + 3}} \cdot 5 = \frac{10}{3\sqrt[3]{5x + 3}} \] 6) \( y = \sin^5 4x \) \[ y' = 5\sin^4 4x \cdot (\sin 4x)' = 5\sin^4 4x \cdot \cos 4x \cdot (4x)' = 20\sin^4 4x \cos 4x \] 7) \( y = (\ln x + 3^x)^3 \) \[ y' = 3(\ln x + 3^x)^2 \cdot (\ln x + 3^x)' = 3(\ln x + 3^x)^2 \cdot (\frac{1}{x} + 3^x \ln 3) \] 8) \( y = \log_4 3x \cdot e^{8x} \) Используем правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = (\log_4 3x)' \cdot e^{8x} + \log_4 3x \cdot (e^{8x})' \] \[ y' = \frac{3}{3x \ln 4} \cdot e^{8x} + \log_4 3x \cdot e^{8x} \cdot 8 = \frac{e^{8x}}{x \ln 4} + 8e^{8x} \log_4 3x \] 9) \( y = \text{tg } 4x \cdot 7^{\cos x} \) \[ y' = (\text{tg } 4x)' \cdot 7^{\cos x} + \text{tg } 4x \cdot (7^{\cos x})' \] \[ y' = \frac{4}{\cos^2 4x} \cdot 7^{\cos x} + \text{tg } 4x \cdot 7^{\cos x} \ln 7 \cdot (-\sin x) \] 10) \( y = \ln 3 \cdot \text{ctg } x^3 \) Заметим, что \( \ln 3 \) — это константа: \[ y' = \ln 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x^3}) \cdot (x^3)' = -\frac{3x^2 \ln 3}{\sin^2 x^3} \] 11) \( y = \frac{\text{arctg } 4x}{\ln \sqrt{x}} \) Используем правило частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ y' = \frac{(\text{arctg } 4x)' \ln \sqrt{x} - \text{arctg } 4x (\ln \sqrt{x})'}{(\ln \sqrt{x})^2} \] \[ y' = \frac{\frac{4}{1 + 16x^2} \ln \sqrt{x} - \text{arctg } 4x \cdot \frac{1}{2x}}{(\ln \sqrt{x})^2} \] 12) \( y = \frac{\text{arcctg } 2x}{4x^2 - 5} \) \[ y' = \frac{(\text{arcctg } 2x)'(4x^2 - 5) - \text{arcctg } 2x(4x^2 - 5)'}{(4x^2 - 5)^2} \] \[ y' = \frac{-\frac{2}{1 + 4x^2}(4x^2 - 5) - \text{arcctg } 2x \cdot 8x}{(4x^2 - 5)^2} \] 13) \( y = \frac{\arcsin \sqrt[3]{x}}{5} \) \[ y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt[3]{x})^2}} \cdot (\sqrt[3]{x})' = \frac{1}{5\sqrt{1 - x^{2/3}}} \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{15\sqrt[3]{x^2}\sqrt{1 - \sqrt[3]{x^2}}} \] 14) \( y = \frac{4}{(5x + 2)^6} = 4(5x + 2)^{-6} \) \[ y' = 4 \cdot (-6)(5x + 2)^{-7} \cdot 5 = -\frac{120}{(5x + 2)^7} \] 15) \( y = \cos^3 (\text{tg } 4x) \) \[ y' = 3\cos^2 (\text{tg } 4x) \cdot (-\sin(\text{tg } 4x)) \cdot \frac{4}{\cos^2 4x} \] 16) \( y = \ln \text{ctg}^2 5x = 2 \ln \text{ctg } 5x \) \[ y' = 2 \cdot \frac{1}{\text{ctg } 5x} \cdot (-\frac{5}{\sin^2 5x}) = -\frac{10}{\text{ctg } 5x \cdot \sin^2 5x} = -\frac{10}{\cos 5x \sin 5x} = -\frac{20}{\sin 10x} \]