Решение задачи: Найти сторону CD трапеции

Дано: \(ABCD\) — трапеция (\(BC \parallel AD\)). \(\angle BCD = 135^{\circ}\). \(\angle ABC = 120^{\circ}\). \(AB = 16\sqrt{6}\). Найти: \(CD\). Решение: 1. Проведем высоты \(BH\) и \(CK\) из вершин \(B\) и \(C\) к нижнему основанию \(AD\). Так как \(BC \parallel AD\), то \(BH = CK\). Обозначим высоту трапеции как \(h\). 2. Рассмотрим углы при боковых сторонах. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна \(180^{\circ}\). Для стороны \(AB\): \(\angle A = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). Для стороны \(CD\): \(\angle D = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}\). 3. Из прямоугольного треугольника \(ABH\) (\(\angle H = 90^{\circ}\)) найдем высоту \(h\): \[h = AB \cdot \sin(\angle A) = 16\sqrt{6} \cdot \sin(60^{\circ})\] \[h = 16\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{18} = 8 \cdot 3\sqrt{2} = 24\sqrt{2}\] 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(CDK\) (\(\angle K = 90^{\circ}\)). В нем нам известна высота \(CK = h = 24\sqrt{2}\) и угол \(\angle D = 45^{\circ}\). Найдем гипотенузу \(CD\): \[CD = \frac{CK}{\sin(\angle D)} = \frac{24\sqrt{2}}{\sin(45^{\circ})}\] \[CD = \frac{24\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 24\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 24 \cdot 2 = 48\] Ответ: 48.