Решение задач 11 и 12

Решение задач из представленного списка. Задание 11. На одном из рисунков изображен график функции \( y = x^2 - 2x + 3 \). Укажите номер этого рисунка. Решение: 1) Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (больше нуля), значит, ветви параболы направлены вверх. Это исключает варианты 3 и 4. 2) Найдем координаты вершины параболы по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \): \[ x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \] Вершина должна иметь абсциссу \( x = 1 \). 3) Найдем ординату вершины \( y_0 \), подставив \( x_0 = 1 \) в уравнение: \[ y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] Точка вершины — \( (1; 2) \). Этому условию соответствует рисунок под номером 1. Ответ: 1. Задание 12. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле \( R = \frac{a}{2 \sin \alpha} \). Найдите \( \sin \alpha \), если \( a = 0,6 \), а \( R = 0,75 \). Решение: 1) Выразим \( \sin \alpha \) из формулы: \[ \sin \alpha = \frac{a}{2R} \] 2) Подставим известные значения: \[ \sin \alpha = \frac{0,6}{2 \cdot 0,75} = \frac{0,6}{1,5} \] 3) Для удобства умножим числитель и знаменатель на 10: \[ \sin \alpha = \frac{6}{15} \] 4) Сократим дробь на 3: \[ \sin \alpha = \frac{2}{5} = 0,4 \] Ответ: 0,4. Задание 13. Решите неравенство \( x^2 + x \ge 0 \). Решение: 1) Найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + x = 0 \): \[ x(x + 1) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 \] 2) Данная функция — парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось \( x \) в точках -1 и 0. 3) Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на промежутках, где парабола находится выше оси \( x \) или касается её: \[ x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) \] Ответ: \( (-\infty; -1] \cup [0; +\infty) \).