Решение задач по геометрии: площадь треугольника и медиана

Решение геометрических задач из представленного списка. Задание 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а его основание — 60. Найдите площадь этого треугольника. Решение: 1) Проведем высоту \( h \) к основанию. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание пополам: \[ \frac{60}{2} = 30 \] 2) Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем высоту \( h \): \[ h = \sqrt{34^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = \sqrt{256} = 16 \] 3) Вычислим площадь треугольника по формуле \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 16 = 30 \cdot 16 = 480 \] Ответ: 480. Задание 2. В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AB = BC \), медиана \( BM = 6 \), площадь \( S_{ABC} = 48 \). Найдите длину стороны \( AB \). Решение: 1) Так как треугольник равнобедренный, медиана \( BM \), проведенная к основанию, является также высотой. 2) Из формулы площади \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM \) найдем основание \( AC \): \[ 48 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 6 \Rightarrow 48 = 3 \cdot AC \Rightarrow AC = 16 \] 3) Точка \( M \) делит \( AC \) пополам, значит \( AM = \frac{16}{2} = 8 \). 4) Из прямоугольного треугольника \( ABM \) по теореме Пифагора найдем \( AB \): \[ AB = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] Ответ: 10. Задание 3. В треугольнике \( ABC \) сторона \( AC = 56 \), \( BM \) — медиана, \( BH \) — высота, \( BC = BM \). Найдите длину отрезка \( AH \). Решение: 1) Так как \( BM \) — медиана, то \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{56}{2} = 28 \). 2) В треугольнике \( BMC \) стороны \( BM = BC \), значит он равнобедренный. Высота \( BH \), проведенная к основанию \( MC \), является также медианой этого треугольника. 3) Тогда \( MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{28}{2} = 14 \). 4) Отрезок \( AH \) состоит из суммы отрезков \( AM \) и \( MH \): \[ AH = AM + MH = 28 + 14 = 42 \] Ответ: 42. Задание 4. Биссектрисы углов \( N \) и \( M \) треугольника \( MNP \) пересекаются в точке \( A \). Найдите угол \( NAM \), если \( \angle N = 80^\circ \), \( \angle M = 68^\circ \). Решение: 1) Так как \( NA \) и \( MA \) — биссектрисы, они делят углы пополам: \[ \angle ANM = \frac{\angle N}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] \[ \angle AMN = \frac{\angle M}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ \] 2) Рассмотрим треугольник \( NAM \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ \angle NAM = 180^\circ - (\angle ANM + \angle AMN) = 180^\circ - (40^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ \] Ответ: 106. Задание 5. В треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AD \). Известно, что \( BD = 2 \), \( DC = 1 \), \( AB = 7 \). Найдите \( AC \). Решение: 1) По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DC} \] 2) Подставим известные значения: \[ \frac{7}{2} = \frac{AC}{1} \] 3) Отсюда находим \( AC \): \[ AC = \frac{7 \cdot 1}{2} = 3,5 \] Ответ: 3,5.