Решение задачи про дугу и сектор

Задача 9. Дуга и сектор Дано: Хорда \( a = 12\sqrt{3} \). Градусная мера дуги \( \alpha = 120^\circ \). Найти: Площадь сектора \( S_{сект} \), деленную на \( \pi \). Решение: 1. Найдем радиус окружности \( R \). Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Угол между радиусами равен центральному углу, который опирается на дугу, то есть \( 120^\circ \). По теореме синусов или используя формулу хорды \( a = 2R \sin(\frac{\alpha}{2}) \): \[ 12\sqrt{3} = 2R \cdot \sin(\frac{120^\circ}{2}) \] \[ 12\sqrt{3} = 2R \cdot \sin(60^\circ) \] Так как \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ 12\sqrt{3} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 12\sqrt{3} = R\sqrt{3} \] Отсюда радиус: \[ R = 12 \] 2. Вычислим площадь сектора по формуле: \[ S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} \] Подставим значения \( R = 12 \) и \( \alpha = 120^\circ \): \[ S_{сект} = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} \] \[ S_{сект} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 1}{3} \] \[ S_{сект} = 48\pi \] 3. В ответе необходимо указать площадь сектора, деленную на \( \pi \): \[ \frac{S_{сект}}{\pi} = \frac{48\pi}{\pi} = 48 \] Ответ: 48