Задача №10: Доказательство, что FAKB - ромб

Задача №10 Дано: \( \triangle DFE \) — равнобедренный (\( DF = FE \)); \( DE \) — основание; \( AK \) и \( BK \) — средние линии треугольника. Доказать: \( FAKB \) — ромб. Доказательство: 1) По определению средней линии треугольника, отрезки \( AK \) и \( BK \) соединяют середины сторон. Так как \( AK \) — средняя линия, параллельная стороне \( FE \), то точка \( A \) является серединой стороны \( DF \), а точка \( K \) — серединой стороны \( DE \). Аналогично, так как \( BK \) — средняя линия, параллельная стороне \( DF \), то точка \( B \) является серединой стороны \( FE \). 2) По свойству средней линии треугольника: \[ AK = \frac{1}{2} FE \] \[ BK = \frac{1}{2} DF \] 3) Так как по условию \( \triangle DFE \) равнобедренный с основанием \( DE \), то его боковые стороны равны: \[ DF = FE \] 4) Из равенства сторон \( DF = FE \) и формул для средних линий следует, что: \[ AK = BK = \frac{1}{2} DF = \frac{1}{2} FE \] 5) Рассмотрим стороны \( FA \) и \( FB \). Так как \( A \) и \( B \) — середины сторон \( DF \) и \( FE \) соответственно, то: \[ FA = \frac{1}{2} DF \] \[ FB = \frac{1}{2} FE \] Следовательно, \( FA = FB = AK = BK \). 6) В четырехугольнике \( FAKB \) все стороны равны между собой: \[ FA = AK = KB = BF \] По определению, четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.