Решение неравенства x² - 49 < 0

Задание: Укажите решение неравенства \( x^2 - 49 < 0 \). Решение: Для решения данного квадратного неравенства воспользуемся методом интервалов или разложением на множители. 1) Разложим левую часть неравенства по формуле разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ x^2 - 7^2 < 0 \] \[ (x - 7)(x + 7) < 0 \] 2) Найдем корни соответствующего уравнения \( (x - 7)(x + 7) = 0 \): \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -7 \] 3) Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -7) \), \( (-7; 7) \) и \( (7; +\infty) \). Так как это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен), то значения функции будут отрицательными между корнями. Проверим знак на интервале \( (-7; 7) \), подставив \( x = 0 \): \[ 0^2 - 49 = -49 \] Так как \( -49 < 0 \), данный интервал является решением. 4) Запишем решение в виде интервала: \[ x \in (-7; 7) \] Ответ: \( (-7; 7) \) (первый вариант в списке).