Решение задач по теме «Призма» (10 класс, Вариант 1)

Ниже представлены решения задач из теста по теме «Призма» для 10 класса (Вариант 1). Тест по теме «Призма» 1. Сколько боковых граней у семиугольной призмы? Количество боковых граней призмы равно количеству сторон многоугольника, лежащего в её основании. Так как призма семиугольная, у неё 7 боковых граней. Ответ: а) 7. 2. Прямая призма — это призма, у которой: По определению, призма называется прямой, если её боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Ответ: б) боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. 3. Если призма наклонная, то ее боковые грани являются: У любой призмы боковые грани — параллелограммы. У прямой призмы это частный случай — прямоугольники, а у наклонной — параллелограммы общего вида. Ответ: б) параллелограммами. 4. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна 10 см, а сторона основания — 6 см. Найдите высоту призмы. Решение: Боковая грань правильной четырехугольной призмы — прямоугольник. Его стороны — это сторона основания \( a = 6 \) см и высота призмы \( h \). Диагональ \( d = 10 \) см является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора: \[ h^2 + a^2 = d^2 \] \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = 8 \text{ см} \] Ответ: б) 8 см. 5. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота призмы равна 5 см. Найдите площадь полной поверхности призмы. Решение: 1) Найдем гипотенузу основания \( c \): \[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \text{ см} \] 2) Площадь основания \( S_{осн} \): \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2 \] 3) Периметр основания \( P \): \[ P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см} \] 4) Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \): \[ S_{бок} = P \cdot h = 24 \cdot 5 = 120 \text{ см}^2 \] 5) Площадь полной поверхности \( S_{полн} \): \[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24 + 120 = 48 + 120 = 168 \text{ см}^2 \] Ответ: 168 \( \text{см}^2 \). 6. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности равна 72 см². Найдите длину бокового ребра. Решение: Пусть длина ребра равна \( a \). У треугольной призмы 3 боковые грани. Так как все ребра равны, каждая грань — квадрат со стороной \( a \). \[ S_{бок} = 3 \cdot a^2 \] \[ 72 = 3 \cdot a^2 \] \[ a^2 = 24 \] \[ a = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ см} \] Ответ: \( 2\sqrt{6} \) см. 7. В прямой призме в основании лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: 1) Найдем сторону ромба \( a \). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам (3 см и 4 см): \[ a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ см} \] 2) Большая диагональ призмы \( D \) образует с большей диагональю ромба \( d_2 = 8 \) см и высотой призмы \( h \) прямоугольный треугольник. Так как угол наклона 45°, треугольник равнобедренный: \[ h = d_2 = 8 \text{ см} \] 3) Периметр основания \( P \): \[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см} \] 4) Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = P \cdot h = 20 \cdot 8 = 160 \text{ см}^2 \] Ответ: 160 \( \text{см}^2 \).