Решение задачи 11: Нахождение периметра треугольника DQL

Задача 11 Дано: \( \triangle ABD \) — треугольник. \( AL, DS \) — медианы. \( AL \cap DS = Q \). \( AQ = 8 \), \( QS = 5 \), \( DB = 16 \). Найти: \( P_{\triangle DQL} \) Решение: 1. Рассмотрим точку \( Q \). По условию \( AL \) и \( DS \) — медианы треугольника \( ABD \). Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении \( 2:1 \), считая от вершины. 2. Для медианы \( DS \) имеем: \[ \frac{DQ}{QS} = \frac{2}{1} \] Отсюда: \[ DQ = 2 \cdot QS = 2 \cdot 5 = 10 \] 3. Для медианы \( AL \) имеем: \[ \frac{AQ}{QL} = \frac{2}{1} \] Отсюда: \[ QL = \frac{AQ}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] 4. Так как \( AL \) — медиана, проведенная к стороне \( BD \), то точка \( L \) является серединой стороны \( BD \). Следовательно: \[ DL = \frac{1}{2} \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \] 5. Найдем периметр треугольника \( DQL \): \[ P_{\triangle DQL} = DQ + QL + DL \] \[ P_{\triangle DQL} = 10 + 4 + 8 = 22 \] Ответ: 22.