Решение задач по теме Призма (10 класс)

Ниже представлены решения задач из теста по теме «Призма» для 10 класса (Вариант 2). Тест по теме «Призма» 1. Сколько вершин у восьмиугольной призмы? У \( n \)-угольной призмы количество вершин равно \( 2n \). Так как призма восьмиугольная (\( n = 8 \)): \[ 2 \cdot 8 = 16 \] Ответ: а) 16. 2. Правильная призма — это призма, у которой: По определению, призма называется правильной, если она прямая (боковые ребра перпендикулярны основаниям) и её основания — правильные многоугольники. Ответ: б) основания — правильные многоугольники, и боковые ребра перпендикулярны основаниям. 3. Если призма прямая, но не правильная, то ее боковые грани являются: У любой прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани всегда являются прямоугольниками. Ответ: а) прямоугольниками. 4. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна 13 см, а сторона основания — 5 см. Найдите высоту призмы. Решение: Боковая грань — прямоугольник со сторонами \( a = 5 \) см (сторона основания) и \( h \) (высота призмы). Диагональ \( d = 13 \) см. По теореме Пифагора: \[ h^2 + a^2 = d^2 \] \[ h^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = 12 \text{ см} \] Ответ: а) 12 см. 5. В прямой четырехугольной призме все ребра равны. Площадь полной поверхности равна 96 см². Найдите длину ребра. Решение: Если у прямой четырехугольной призмы все ребра равны, то это куб. У куба 6 равных граней, каждая из которых — квадрат со стороной \( a \). \[ S_{полн} = 6 \cdot a^2 \] \[ 96 = 6 \cdot a^2 \] \[ a^2 = 16 \] \[ a = 4 \text{ см} \] Ответ: 4 см. 6. Основание прямой призмы — ромб со стороной 5 см и острым углом 60°. Высота призмы равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту. 1) Периметр ромба \( P \): \[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см} \] 2) Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \): \[ S_{бок} = P \cdot h = 20 \cdot 10 = 200 \text{ см}^2 \] (Условие про угол 60° в данном случае является избыточным для нахождения площади боковой поверхности). Ответ: 200 \( \text{см}^2 \). 7. В прямой призме в основании лежит ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение: 1) Найдем сторону ромба \( a \). Диагонали ромба делятся пополам (6 см и 8 см) и перпендикулярны: \[ a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \text{ см} \] 2) Большая диагональ призмы образует прямоугольный треугольник с большей диагональю основания (\( d = 16 \) см) и высотой призмы \( h \). Так как угол наклона 45°, треугольник равнобедренный: \[ h = d = 16 \text{ см} \] 3) Периметр основания \( P \): \[ P = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40 \text{ см} \] 4) Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = P \cdot h = 40 \cdot 16 = 640 \text{ см}^2 \] Ответ: 640 \( \text{см}^2 \).