Решение квадратных уравнений: примеры и методы

Решение квадратных уравнений. 1) \(x^2 + 12x - 64 = 0\) Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400\] \[\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16\] Ответ: 4; -16. 2) \(x^2 + 14x + 24 = 0\) Находим дискриминант: \[D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\] \[\sqrt{D} = 10\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12\] Ответ: -2; -12. 3) \(-x^2 + 7x - 10 = 0\) Умножим на -1 для удобства: \[x^2 - 7x + 10 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 7\] \[x_1 \cdot x_2 = 10\] Методом подбора получаем: \[x_1 = 2, x_2 = 5\] Ответ: 2; 5. 4) \(x(x + 3) = 4\) Раскроем скобки и перенесем 4 влево: \[x^2 + 3x - 4 = 0\] Находим дискриминант: \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\] \[\sqrt{D} = 5\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\] Ответ: 1; -4. 5) \((x - 4)(4x - 3) + 3 = 0\) Раскроем скобки: \[4x^2 - 3x - 16x + 12 + 3 = 0\] \[4x^2 - 19x + 15 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 361 - 240 = 121\] \[\sqrt{D} = 11\] Находим корни: \[x_1 = \frac{19 + 11}{8} = \frac{30}{8} = 3,75\] \[x_2 = \frac{19 - 11}{8} = \frac{8}{8} = 1\] Ответ: 3,75; 1. 6) \((x - 1)^2 = 2x^2 - 6x - 31\) Раскроем квадрат разности: \[x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 6x - 31\] Перенесем всё в правую часть: \[2x^2 - x^2 - 6x + 2x - 31 - 1 = 0\] \[x^2 - 4x - 32 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144\] \[\sqrt{D} = 12\] Находим корни: \[x_1 = \frac{4 + 12}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{4 - 12}{2} = -4\] Ответ: 8; -4.