Решение системы уравнений с параметром a

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение: \[ \begin{cases} |x| + \log_a(y^2 + 1) = 3 \\ \log_3(x + 3a) + 3|y| = 1 \end{cases} \] Решение: 1. Заметим, что если пара \((x; y)\) является решением системы, то и пара \((x; -y)\) также будет решением, так как переменная \(y\) входит в уравнения только под знаком модуля или в квадрате (\(y^2 = |y|^2\)). Для того чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы \(y = -y\), то есть \(y = 0\). 2. Подставим \(y = 0\) в систему уравнений: \[ \begin{cases} |x| + \log_a(0^2 + 1) = 3 \\ \log_3(x + 3a) + 3|0| = 1 \end{cases} \] Так как \(\log_a(1) = 0\), получаем: \[ \begin{cases} |x| = 3 \\ \log_3(x + 3a) = 1 \end{cases} \] Из первого уравнения \(x = 3\) или \(x = -3\). Из второго уравнения \(x + 3a = 3^1\), то есть \(x + 3a = 3\). 3. Рассмотрим два случая для \(x\): Случай 1: \(x = 3\). \[ 3 + 3a = 3 \implies 3a = 0 \implies a = 0 \] Однако по определению логарифма основание \(a\) должно удовлетворять условиям \(a > 0\) и \(a \neq 1\). Значит, \(a = 0\) не подходит. Случай 2: \(x = -3\). \[ -3 + 3a = 3 \implies 3a = 6 \implies a = 2 \] Значение \(a = 2\) удовлетворяет условиям существования логарифма. 4. Проверим, будет ли решение \((-3; 0)\) единственным при \(a = 2\). Подставим \(a = 2\) в исходную систему: \[ \begin{cases} |x| + \log_2(y^2 + 1) = 3 \\ \log_3(x + 6) + 3|y| = 1 \end{cases} \] Из второго уравнения выразим \(\log_3(x + 6) = 1 - 3|y|\). Так как \(3|y| \geq 0\), то \(\log_3(x + 6) \leq 1\), откуда \(x + 6 \leq 3\), то есть \(x \leq -3\). Следовательно, \(|x| \geq 3\) (так как \(x+6 > 0\) по ОДЗ). Из первого уравнения \(\log_2(y^2 + 1) = 3 - |x|\). Так как \(|x| \geq 3\), то \(3 - |x| \leq 0\). Значит, \(\log_2(y^2 + 1) \leq 0\). Но \(y^2 + 1 \geq 1\), поэтому \(\log_2(y^2 + 1) \geq 0\). Единственная возможность — когда \(\log_2(y^2 + 1) = 0\), что дает \(y = 0\). Тогда из первого уравнения \(|x| = 3\), а из условия \(x \leq -3\) получаем \(x = -3\). Решение действительно единственное. Ответ: \(a = 2\).