Задача №1: Площадь прямоугольного треугольника

Задание №1 Дано: Треугольник — прямоугольный. Катет \( a = 4 \). Противолежащий угол \( \alpha = 45^\circ \). Найти: Площадь треугольника \( S \). Решение: 1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^\circ \). Если один острый угол равен \( 45^\circ \), то второй острый угол \( \beta \) также равен: \[ \beta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \] 2. Так как углы при основании равны, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны между собой. Следовательно, второй катет \( b \) также равен \( 4 \): \[ b = a = 4 \] 3. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] 4. Подставим значения катетов в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8 \] Ответ: 8.