Решение:

Задача №425 (б) Исследуем на монотонность последовательность: \[ x_n = \frac{(2n)!}{12^n} \] Для исследования последовательности с положительными членами на монотонность удобно рассмотреть отношение последующего члена к предыдущему \( \frac{x_{n+1}}{x_n} \). 1. Запишем выражение для \( (n+1) \)-го члена последовательности: \[ x_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{12^{n+1}} = \frac{(2n+2)!}{12^{n+1}} \] 2. Составим отношение: \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(2n+2)!}{12^{n+1}} : \frac{(2n)!}{12^n} = \frac{(2n+2)! \cdot 12^n}{12^{n+1} \cdot (2n)!} \] 3. Упростим полученное выражение, используя свойства факториала \( (2n+2)! = (2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) \) и показатели степени: \[ \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(2n)! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) \cdot 12^n}{12 \cdot 12^n \cdot (2n)!} = \frac{(2n+1)(2n+2)}{12} \] 4. Проверим, при каких \( n \) это отношение больше или меньше единицы: При \( n = 1 \): \[ \frac{x_2}{x_1} = \frac{(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 2)}{12} = \frac{3 \cdot 4}{12} = 1 \] Это означает, что \( x_1 = x_2 \). При \( n \ge 2 \): Числитель \( (2n+1)(2n+2) \) будет стремительно расти. Например, при \( n = 2 \): \[ \frac{x_3}{x_2} = \frac{5 \cdot 6}{12} = \frac{30}{12} = 2,5 > 1 \] Так как для всех \( n \ge 2 \) выполняется неравенство \( (2n+1)(2n+2) > 12 \), то \( \frac{x_{n+1}}{x_n} > 1 \), следовательно, \( x_{n+1} > x_n \). Вывод: Так как \( x_1 = x_2 \) и \( x_n < x_{n+1} \) при \( n \ge 2 \), последовательность является нестрого возрастающей. Ответ: последовательность нестрого возрастающая.