Решение задачи: Камень в ущелье (арифметическая прогрессия)

Ниже представлено решение задач №14 и №15 в удобном для переписывания виде. Задание №14 Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 6 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд? Решение: Данная задача решается с помощью арифметической прогрессии, где: \(a_1 = 6\) (расстояние за первую секунду); \(d = 10\) (разность прогрессии); \(n = 5\) (количество секунд). Нам нужно найти сумму первых пяти членов прогрессии \(S_5\). 1. Найдем расстояние, пройденное за пятую секунду (\(a_5\)): \[a_n = a_1 + d(n - 1)\] \[a_5 = 6 + 10(5 - 1) = 6 + 10 \cdot 4 = 6 + 40 = 46\] 2. Найдем общую сумму расстояний за 5 секунд по формуле: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[S_5 = \frac{6 + 46}{2} \cdot 5 = \frac{52}{2} \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130\] Ответ: 130. Задание №15 В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = BC\), \(\angle ABC = 106^\circ\). Найдите угол \(BCA\). Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Так как по условию \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным с основанием \(AC\). 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно: \[\angle BAC = \angle BCA\] 3. Сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Составим уравнение: \[\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\] \[106^\circ + 2 \cdot \angle BCA = 180^\circ\] 4. Вычислим значение угла \(BCA\): \[2 \cdot \angle BCA = 180^\circ - 106^\circ\] \[2 \cdot \angle BCA = 74^\circ\] \[\angle BCA = 74^\circ : 2 = 37^\circ\] Ответ: 37.