Решение задач по теме «Единичная окружность»

Решение задач по теме «Единичная окружность» Для решения данных задач вспомним, что длина всей единичной окружности равна \(2\pi\). Длина каждой из четырех четвертей (дуги \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\)) равна: \[\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\] Задача 1. Вторая четверть \(BC\) разделена пополам точкой \(M\). Значит, дуги \(BM = MC = \frac{\pi}{4}\). Третья четверть \(CD\) разделена на три равные части точками \(K\) и \(P\). Значит, дуги \(CK = KP = PD = \frac{\pi}{2} : 3 = \frac{\pi}{6}\). Найдем длины указанных дуг: 1) \(AM = AB + BM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) 2) \(BK = BC + CK = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\) 3) \(MP = MC + CK + KP = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{12}\) 4) \(DC = \frac{\pi}{2}\) (целая четверть) 5) \(KA = KC + CB + BA = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6}\) 6) \(BP = BC + CK + KP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\) 7) \(CB = \frac{\pi}{2}\) 8) \(BC = \frac{\pi}{2}\) Задача 2. Первая четверть \(AB\) разделена пополам точкой \(M\): \(AM = MB = \frac{\pi}{4}\). Четвертая четверть \(DA\) разделена на три части точками \(K\) и \(P\): \(DK = KP = PA = \frac{\pi}{6}\). Вычислим длины дуг: 1) \(AM = \frac{\pi}{4}\) 2) \(BD = BC + CD = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi\) 3) \(CK = CD + DK = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\) 4) \(MP = MB + BC + CD + DK + KP = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{19\pi}{12}\) 5) \(DM = DC + CB + BM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\) 6) \(MK = MB + BC + CD + DK = \frac{\pi}{4} + \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{12}\) 7) \(CP = CD + DK + KP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}\) 8) \(PC = PA + AB + BC = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6}\) Задача 3. Дуга \(AB = \frac{\pi}{2}\) разделена в отношении \(2:3\). Всего \(2+3=5\) частей. Одна часть равна \(\frac{\pi}{2} : 5 = \frac{\pi}{10}\). 1) \(AM = 2 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\) 2) \(MB = 3 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{3\pi}{10}\) 3) \(DM = DA + AM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10}\) 4) \(MC = MB + BC = \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}\) Задача 4. Дуга \(CD = \frac{\pi}{2}\) разделена точкой \(P\) в отношении \(1:5\). Всего \(1+5=6\) частей. Одна часть равна \(\frac{\pi}{2} : 6 = \frac{\pi}{12}\). 1) \(CP = 1 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12}\) 2) \(PD = 5 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\) 3) \(AP = AB + BC + CP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\) Задача 5. \(M\) — середина \(AB\), значит \(AM = \frac{\pi}{4}\). Точка \(N\) диаметрально противоположна \(M\), значит дуга \(MN = \pi\). 1) Дуга \(AN = MN - AM = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) 2) Дуга \(AM = \frac{\pi}{4}\) Задача 6. Для определения четверти используем приближенное значение \(\pi \approx 3,14\). Границы четвертей: I (0; 1,57), II (1,57; 3,14), III (3,14; 4,71), IV (4,71; 6,28). а) \(AE = 2\). Так как \(1,57 < 2 < 3,14\), точка \(E\) во II четверти. б) \(AE = 5\). Так как \(4,71 < 5 < 6,28\), точка \(E\) в IV четверти. в) \(AE = 6,2\). Так как \(4,71 < 6,2 < 6,28\), точка \(E\) в IV четверти. г) \(AE = 6,3\). Так как \(6,3 > 2\pi \approx 6,28\), точка прошла полный круг и попала в I четверть (\(6,3 - 6,28 = 0,02\)).