Решение системы неравенств: Задание 10

Задание 10 Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{x}{3} < 9, \\ 2 - \frac{x}{7} > 0. \end{cases} \] Решение: 1. Решим первое неравенство: \( \frac{x}{4} + \frac{x}{3} < 9 \). Приведем дроби к общему знаменателю 12: \[ \frac{3x}{12} + \frac{4x}{12} < 9 \] \[ \frac{7x}{12} < 9 \] Умножим обе части на 12: \[ 7x < 108 \] Разделим на 7: \[ x < \frac{108}{7} \] \[ x < 15\frac{3}{7} \approx 15,43 \] 2. Решим второе неравенство: \( 2 - \frac{x}{7} > 0 \). Перенесем \( -\frac{x}{7} \) в правую часть: \[ 2 > \frac{x}{7} \] Умножим обе части на 7: \[ 14 > x \] Или, что то же самое: \[ x < 14 \] 3. Найдем пересечение решений. Нам нужны значения \( x \), которые одновременно удовлетворяют условиям: \[ x < 15\frac{3}{7} \text{ и } x < 14 \] Так как число 14 меньше, чем \( 15\frac{3}{7} \), то любое число, которое меньше 14, автоматически будет меньше и \( 15\frac{3}{7} \). Следовательно, общим решением системы является: \[ x < 14 \] Запишем результат в виде числового промежутка: \[ (-\infty; 14) \] Ответ: третий вариант \( (-\infty; 14) \).