Решение задачи 4: Найти количество сторон правильного n-угольника

Задача 4. Дано: Правильный \(n\)-угольник вписан в окружность. Угол между радиусом и стороной \(n\)-угольника равен \(84^{\circ}\). Найти: \(n\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности и двумя соседними вершинами \(n\)-угольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это радиусы \(R\) описанной окружности. 2. В этом равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию задачи, угол между радиусом и стороной равен \(84^{\circ}\). Следовательно, оба угла при основании треугольника равны \(84^{\circ}\). 3. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Найдем центральный угол \(\alpha\), который опирается на сторону правильного \(n\)-угольника: \[ \alpha = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 84^{\circ}) \] \[ \alpha = 180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ} \] 4. Центральный угол правильного \(n\)-угольника также вычисляется по формуле: \[ \alpha = \frac{360^{\circ}}{n} \] 5. Подставим найденное значение угла в формулу и найдем \(n\): \[ 12^{\circ} = \frac{360^{\circ}}{n} \] \[ n = \frac{360^{\circ}}{12^{\circ}} \] \[ n = 30 \] Ответ: 30.