Решение задачи 22: График функции y = -|x^2 - 9|

Задание 22. Условие: Постройте график функции \( y = -|x^2 - 9| \) и определите наибольшее возможное число общих точек графика этой функции с прямой \( y = b \). При каких значениях \( b \) это достигается? Решение: 1. Построим график функции \( y = -|x^2 - 9| \) поэтапно: а) Построим параболу \( y = x^2 - 9 \). Ее вершина находится в точке \( (0; -9) \), ветви направлены вверх. Точки пересечения с осью \( Ox \): \( x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \). б) Применим модуль: \( y = |x^2 - 9| \). Часть графика, лежащая ниже оси \( Ox \), отображается симметрично вверх. Вершина переходит в точку \( (0; 9) \). в) Применим знак минус перед модулем: \( y = -|x^2 - 9| \). Весь график отображается симметрично относительно оси \( Ox \) вниз. Теперь вершина "горба" находится в точке \( (0; -9) \), а точки пересечения с осью \( Ox \) остаются \( (-3; 0) \) и \( (3; 0) \). 2. Исследуем количество точек пересечения с прямой \( y = b \): - Если \( b > 0 \), прямая проходит выше оси \( Ox \), общих точек нет (0 точек). - Если \( b = 0 \), прямая совпадает с осью \( Ox \), имеем две точки пересечения: \( x = -3 \) и \( x = 3 \) (2 точки). - Если \( -9 < b < 0 \), прямая пересекает график в четырех местах (4 точки). - Если \( b = -9 \), прямая проходит через вершину "впадины", имеем три точки: \( x = 0 \) и две точки на боковых ветвях (3 точки). - Если \( b < -9 \), прямая пересекает только две боковые ветви параболы (2 точки). 3. Вывод: Наибольшее число общих точек равно 4. Это достигается при условии, что прямая \( y = b \) проходит между "вершинами" на оси \( Ox \) и нижней точкой изгиба \( (0; -9) \). Следовательно, \( -9 < b < 0 \). Ответ: максимальное количество точек равно 4; \( y = b \), -9 < b < 0.