Решение задачи: Угол правильного n-угольника

Задание 2. На рисунке изображены: \(\angle 1\) — внутренний угол правильного \(n\)-угольника, \(\angle 2\) — внешний угол правильного \(n\)-угольника. Известно, что сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине равна \(180^{\circ}\): \[ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \] Также внешний угол правильного \(n\)-угольника вычисляется по формуле: \[ \angle 2 = \frac{360^{\circ}}{n} \] Решим для каждого условия: 1. Условие: \(\angle 1 : \angle 2 = 13 : 2\) Пусть одна часть равна \(x\). Тогда \(\angle 1 = 13x\), а \(\angle 2 = 2x\). \[ 13x + 2x = 180^{\circ} \] \[ 15x = 180^{\circ} \] \[ x = 12^{\circ} \] Находим внешний угол \(\angle 2\): \[ \angle 2 = 2 \cdot 12^{\circ} = 24^{\circ} \] Находим количество сторон \(n\): \[ n = \frac{360^{\circ}}{24^{\circ}} = 15 \] 2. Условие: \(\angle 2 < \angle 1\) в 11 раз (это значит \(\angle 1 = 11 \cdot \angle 2\)) Пусть \(\angle 2 = y\). Тогда \(\angle 1 = 11y\). \[ 11y + y = 180^{\circ} \] \[ 12y = 180^{\circ} \] \[ y = 15^{\circ} \] Внешний угол \(\angle 2 = 15^{\circ}\). Находим количество сторон \(n\): \[ n = \frac{360^{\circ}}{15^{\circ}} = 24 \] Итоговое соответствие: \(\angle 1 : \angle 2 = 13 : 2 \rightarrow 15\) \(\angle 2 < \angle 1\) в 11 раз \(\rightarrow 24\)