Решение системы уравнений: 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 9, x + 2y = 9

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} 9x^2 - 12xy + 4y^2 = 9 \\ x + 2y = 9 \end{cases} \] 1. Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что левая часть представляет собой квадрат разности: \[ 9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2y + (2y)^2 = (3x - 2y)^2 \] Таким образом, первое уравнение принимает вид: \[ (3x - 2y)^2 = 9 \] 2. Из этого следует два возможных случая: \[ 3x - 2y = 3 \quad \text{или} \quad 3x - 2y = -3 \] 3. Решим систему для первого случая: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 3 \\ x + 2y = 9 \end{cases} \] Сложим эти два уравнения: \[ (3x - 2y) + (x + 2y) = 3 + 9 \] \[ 4x = 12 \] \[ x_1 = 3 \] Подставим \( x = 3 \) во второе уравнение системы: \[ 3 + 2y = 9 \] \[ 2y = 6 \] \[ y_1 = 3 \] Первое решение: \( (3; 3) \). 4. Решим систему для второго случая: \[ \begin{cases} 3x - 2y = -3 \\ x + 2y = 9 \end{cases} \] Сложим эти два уравнения: \[ (3x - 2y) + (x + 2y) = -3 + 9 \] \[ 4x = 6 \] \[ x_2 = 1,5 \] Подставим \( x = 1,5 \) во второе уравнение системы: \[ 1,5 + 2y = 9 \] \[ 2y = 7,5 \] \[ y_2 = 3,75 \] Второе решение: \( (1,5; 3,75) \). Ответ: \( (3; 3) \), \( (1,5; 3,75) \).